事件独立性

事件独立性

事件独立性指的是 A 是否发生不影响 B 的概率，也就是说，$P(A\vert B)=P(B)$。因此我们有如下定义：

✒定义

设 $A,B$ 是两事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$ 则称事件 $A,B$ 独立

对于三个事件 $A,B,C$ 独立，则要求满足：

$$ \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{cases} $$

📝注释：

1. 若 $P(A)>0,P(B)>0$ 且 $A,B$ 独立，则 $P(A\vert B)=P(A)$，$P(B\vert A)=P(B)$

2. $A,B$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},B$ 独立$\Leftrightarrow$ $A,\bar{B}$ 独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},\bar{B}$ 独立 （利用减法和加法公式证明）

3. 若 $P(A)=0或1$，则 $A,B$ 必然独立

   $$ \because AB \subset A\\ \therefore P(AB) \leq P(A) = 0\\ \therefore P(AB)=0=P(A)P(B)\\ 再根据注释2，P(\bar{A})=1，从而 \bar{A}、B 独立 $$

4. $P(A)>0$，$P(B)>0$。若 $A,B$ 独立，则 $AB \neq \varnothing$。反之，若 $AB = \varnothing$，则 $A,B$ 不独立。

   $$ P(AB)=P(A)P(B)>0 \Rightarrow AB\neq\varnothing\\ P(AB)=0 \neq P(A)P(B) \Rightarrow 不独立 $$

5. 独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会，而不相容是指事件不可能同时发生

6. 可以扩展到 $n$ 个事件独立：$P(A_1A_2\cdot A_n)=\prod_{i=1}^nA_i$

小概率事件