Z变换分析

复习

在信号与系统中已经讲过 z 变换了,请回去复习一下:

当然,我这里还是快速过一次吧。z变换的定义如下:

由级数理论,级数收敛的充分必要条件为绝对可和,即:

可见收敛域(ROC)与 $r$ 的取值有关,所以 ROC 是圆环形的。当我们计算 z 变换时,要求出其收敛域。P.S.,常见 z 变换如下:

求解逆 z 变换有 3 种方法:

  • 部分分式展开法
  • 幂级数展开法(长除法)
  • 围线积分

这些东西请看回信号与系统,我懒得再写一遍了。

传输函数

LTI系统的输入输出关系满足:

$H(z)$ 称为 传递函数系统函数

LTI系统一般用差分方程描述:

对两边做z变换,移项,可以得到传递函数为:

对于 FIR 系统,由于 $N=0$(也就是只有 $y[n]$ 项,没有 $y[n-k]$ 项),所以其传递函数的形式为:$H(z)=\sum_{n=M_1}^{M_2} h[n] z^{-n}$,$0\leq M_1 \leq M_2$,极点在 $z=0$ 处,所以收敛域为除 $z=0$ 外的整个 z 平面。

对于 IIR 系统,由于是因果系统,所以收敛域为 $\vert z\vert > \max_k \vert \lambda_k \vert$,$\lambda_k$ 为极点。

习题

6.10 求下面因果序列的 $z$ 变换及其对应的收敛域。假设 $\vert\beta\vert=\vert \alpha \vert >0$,给出零极点图并在图中标明收敛域。
$$ \begin{aligned} x_1[n]&=\alpha^n u[n+1] + \beta^n u[n+2]\\ x_2[n]&=\alpha^n u[n-2] + \beta^n u[-n-1]\\ x_3[n]&=\alpha^n u[n+1] + \beta^n u[-n-1] \end{aligned} $$

解:通过已学知识可知:
    常用z变换对 $u[n] \xleftrightarrow{z} \frac{1}{1-z^{-1}}, \vert z \vert>1$
    时移:$x[n-m] \xleftrightarrow{z} z^{-m}X[z]$,影响 0 和 $\infty$ 的收敛性
    时反:$x[-n] \xleftrightarrow{z} X[z^{-1}]$,收敛域为原收敛域的点的倒数集合
    指数加权:$a^n x[n] = \xleftrightarrow{z} X[a^{-1}z]$,收敛域拉伸为 $\vert a \vert$ 倍
  因此,可以直接写出 z 变换:
$$ \begin{aligned} X_1(z)&=\frac{1}{\alpha z^{-1}}\cdot\frac{1}{1-\alpha z^{-1}} + \frac{1}{\beta^2 z^{-2}}\cdot\frac{1}{1-\beta z^{-1}}, |\beta|<|z|<\infty\\ X_2(z)&=\frac{\alpha^2 z^{-2}}{1-\alpha z^{-1}}-\frac{\beta z^{-1}}{1-\beta^2 z^{-1}}, |\alpha|<|z|<|\beta|\\ X_3(z)&=\frac{1}{\alpha^2 z^{-2}}\cdot\frac{1}{1-\alpha z^{-1}}-\frac{\beta z^{-1}}{1-\beta^2 z^{-1}}, |\alpha|<|z|<|\beta| \end{aligned} $$


6.13 求下面 z 变换可能的收敛域和对应的逆 z 变换:
$$ X_c(z)=\frac{4-1.6 z^{-1}-0.4 z^{-2}}{(1+0.6 z^{-1})(1-0.4 z^{-1})^2} $$

解:极点为:$\lambda_1 = -0.6$,$\lambda_2=\lambda_3=0.4$,所以可能的收敛域为:
$$ \begin{aligned} &\text{ROC}_1: |z|<0.4\\ &\text{ROC}_2: |0.4|<|z|<0.6\\ &\text{ROC}_3: |z|>0.6 \end{aligned} $$ $$ X_c(z) = \frac{2}{1+0.6z^{-1}}+\frac{3}{1-0.4z^{-1}}+\frac{-1}{(1-0.4z^{-1})^2} $$

  • $\text{ROC}_2$:$x_1[n] = -2(-0.6)^n u[-n-1] - 3 (0.4)^n u[-n-1]+2.5(n+1)(0.4)^{(n+1)} u[-n-2]$
  • $\text{ROC}_3$:$x_2[n] = -2(-0.6)^n u[-n-1] + 3 (0.4)^n u[n]-2.5(n+1)(0.4)^{(n+1)} u[n+1]$
  • $\text{ROC}_4$:$x_2[n] = 2(-0.6)^n u[n] + 3 (0.4)^n u[n]-2.5(n+1)(0.4)^{(n+1)} u[n+1]$


6.38 利用多项式相乘法计算: $g[n]=\{-3, 2,5\}$ 和 $h[n]=\{4,-3,1,-4\}$ 的线性卷积和圆周卷积

解:先写出传递函数:
$$ \begin{aligned} G(z)&=-3+2z^{-1}+5z^{-2}\\ H(z)&=4-3z^{-1}+z^{-2}-5z^{-3} \end{aligned} $$
则线性卷积为:
$$ \begin{aligned} Y_L(z)&=G(z)H(z)\\ &=-12+17z^{-1}+11z^{-2}-z^{-3}-3z^{-4}-20z^{-5} \end{aligned} $$
圆周卷积为:
$$ \begin{aligned} Y_C(z)&=\langle Y_L(z) \rangle_{(z^{-4}-1)}\\ &=-12+17z^{-1}+11z^{-2}-z^{-3}-3-20z^{-1}\\ &=-15-3z^{-1}+11z^{-2}-z^{-3} \end{aligned} $$


6.63 求 $h[n]=\delta[n]-\alpha \delta[n-R], \vert\alpha \vert<1$ 幅度响应的最值。

解:容易写出:$H(e^{j\omega})=1-\alpha e^{-j\omega R}$,所以幅度响应为:
$$ |H(e^{j\omega)}|=\sqrt{1+\alpha^2 - 2 \alpha \cos(\omega R)} $$
当 $\omega = \frac{2k \pi}{R}$ 时取最大值 $1+\vert \alpha \vert$;当 $\omega = \frac{(2k+1) \pi}{R}$ 时取最小值 $1-\vert \alpha \vert$。


6.81 LTI离散时间系统的传输函数为:
$$ H(z)=\frac{3(z+1.8)(z-4)}{(z+0.3)(z-0.6)(z+5)} $$
问:该系统的频率响应 $H(e^{j\omega})$ 是否存在?该系统可能稳定吗?可能是因果的吗?并在不求逆 z 变换的情况下确定 $h[n]$ 的形式。

解:在 $z=0.3$,$z=0.6$,$z=-5$ 处有极点,当 $\text{ROC}$ 取 $0.6 < \vert z \vert < 5$ 时,系统稳定且存在频率响应。
在稳定的情况下,系统不可能是因果的,因为 $\text{ROC}$ 不包含 $\infty$.
$h[n]=A(-0.3)^n u[n]+B(0.6)^n u[n]+C(-5)^n u[n]$