# 变换域中的LTI系统

\begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \end{align*}

# 幅度！

## 理想滤波器

• 理想高通
• 理想低通
• 理想带通
• 理想带阻

$h_\text{LP} [n] = \frac{\sin \omega_c n}{\pi n}, -\infty< n <+\infty$

## 有界实传递函数

$|H(e^{j\omega})| \leq 1, 对\omega的所有值$

## 全通传递函数

$|A(e^{j\omega})|^2 = 1, 对所有 \omega$

$A(z)=\frac{\alpha-\beta z^{-1}}{1-\lambda z^{-1}}$

$|\alpha-\beta e^{-j\omega}|=|1-\lambda e^{-j\omega}|$

\begin{aligned} &\alpha_\text{re}^2+\alpha_\text{im}^2+\beta_\text{re}^2+\beta_\text{im}^2-2(\alpha_\text{re}\beta_\text{re}+\alpha_\text{im}\beta_\text{im})\cos \omega - 2(\alpha_\text{re}\beta_\text{im}-\alpha_\text{im}\beta_\text{re})\sin \omega\\ =&1+\lambda_\text{re}^2+\lambda_\text{im}^2-2 \lambda_\text{re}\cos \omega-2\lambda_\text{im}\sin\omega \end{aligned}

$\begin{cases} \alpha_\text{re}^2+\alpha_\text{im}^2+\beta_\text{re}^2+\beta_\text{im}^2 = 1+\lambda_\text{re}^2+\lambda_\text{im}^2\\ \alpha_\text{re}\beta_\text{re}+\alpha_\text{im}\beta_\text{im}=\lambda_\text{re}\\ \alpha_\text{re}\beta_\text{im}-\alpha_\text{im}\beta_\text{re}=\lambda_\text{im} \end{cases}$

$\begin{cases} \alpha=1\\ \beta=\lambda \end{cases} \text{ or } \begin{cases} \alpha=-\lambda^*\\ \beta=-1 \end{cases}$

$H(z)=\frac{1-\lambda z^{-1}}{1-\lambda z^{-1}}\\ \text{or}\\ H(z)=\frac{-\lambda^*+z^{-1}}{1-\lambda z^{-1}}$

$A(z)=\pm \frac{-\lambda^*+z^{-1}}{1-\lambda z^{-1}}$

$极点：\lambda=re^{j\varphi}\\ 零点：\frac{1}{\lambda^*}=\frac{1}{r} e^{j\varphi}$

\begin{aligned} A_M(z)&=\pm \prod_{i=1}^M A_{1,i} (z)\\ &=\pm \prod_{i=1}^M \left( \frac{-\lambda_i^*+z^{-1}}{1-\lambda_i z^{-1}} \right)\\ &=\pm \frac{d_M+d_\text{M-1}z^{-1}+\cdots+d_1 z^{-M+1}+z^{-M}}{1+d_z z^{-1}+\cdots+d_{M-1}z^{-M+1}+d_M z^{-M}} \end{aligned}

• 全通系统展开后的相位函数单调递减
• $\omega$ 从 0 变化到 $\pi$，$M$ 阶全通函数变化了 $M\pi$ 弧度

$\theta(\omega)=\arg (e^{j\omega}-\xi)-\arg (e^{j\omega}-\lambda)$

# 相位！

## 零相位

$F(z)=H(z)H(z^{-1})$

$x^*[n] \leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})\\ x[-n] \leftrightarrow X(e^{-j\omega})$

1. 将信号通过一个因果实系数滤波器 $H(z)$，得到 $X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$
2. 将 1. 中输出信号时间反转，得到 $X(e^{-j\omega})H(e^{-j\omega})$
3. 将 2. 中输出信号再次输入到 $H(z)$，得到 $X(e^{-j\omega})H(e^{-j\omega})H(e^{j\omega})$
4. 将 3. 中输出信号时间再次反转，得到最终输出信号 $X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})H(e^{-j\omega})=X(e^{j\omega})\vert H(e^{j\omega}) \vert^2$

• 一路信号直接滤波，得到 $X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$
• 一路信号经过时反、滤波、时反，得到 $X(e^{j\omega})H(e^{-j\omega})$
• 将两路信号相加，得到 $X(e^{j\omega})[H(e^{j\omega})+H(e^{-j\omega})]=X(e^{j\omega})[H(e^{j\omega})+H^*(e^{j\omega})]$

## 线性相位

\begin{aligned} y[n]&=x[n-D]\\ Y(e^{j\omega})&=e^{-j\omega D} X(e^{j\omega})\\ H(e^{j\omega})&=e^{-j\omega D} \end{aligned}

## 最小相位与最大相位

• 所有零点在单位圆的因果稳定传输函数称为 最小相位传输函数
• 所有零点在单位圆的因果稳定传输函数称为 最大相位传输函数
• 内外都有零点的称为 混合相位传输函数

• 仅当一个因果离散时间系统具有最小相位传输函数，可以设计出该因果离散时间系统的一个稳定逆函数，且逆系统也是最小相位系统。（因为逆系统的极点对应原系统零点）

“最小”相位指的是：在幅度响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的群延时最小。证明如下：

\begin{aligned} \varphi_a(\omega)&=\arg \left( 1-ae^{-j\omega}\right)\\ &=\arg \left( 1- |a|e^{j\theta_a} e^{-j\omega} \right)\\ &=\arg \left( 1- |a|e^{-j(\omega-\theta_a)} \right)\\ &=\arg \big\{ 1- |a| \cos(\omega-\theta_a) + j|a| \sin(\omega-\theta_a) \big\}\\ &=\arg \big\{ |a|^{-1}-\cos(\omega-\theta_a) + j\sin(\omega-\theta_a) \big\} \end{aligned}

$-\frac{\dif \varphi_a(\omega)}{\dif \omega} = \frac{|a|-\cos(\omega-\theta_a)}{|a|+|a|^{-1}-2\cos(\omega-\theta_a)}$

$|1-a e^{-j\omega}|^2= 1 -2|a| \cos(\omega-\theta_a)+|a|^2$

$|1-a e^{-j\omega}|^2= \frac{1}{|a|^2}[1 -2|a| \cos(\omega-\theta_a)+|a|^2]$

$-\frac{\dif \varphi_a(\omega)}{\dif \omega} = \frac{|a|^{-1}-\cos(\omega-\theta_a)}{|a|+|a|^{-1}-2\cos(\omega-\theta_a)}$

# 互补！

## 延时互补

$\sum_{k=0}^{L-1} H_k(z)=\gamma z^{-n_0},\; \gamma\neq 0$

## 全通互补

$\sum_{i=0}^{M-1} H_i(z)=A(z)$

## 功率互补

$\sum_{i=0}^{M-1} |H_i(e^{j\omega})|^2=K$

# 习题

7.22 考虑两个因果 LTI 系统：$h_1[n]=\alpha\delta[n]+\beta\delta[n-1]$ 和 $h_2[n]=\gamma^n \mu[n]$，$\vert \beta \vert <1$ 的级联，求整个系统的频率响应 $H(e^{j\omega})$，当 $\alpha$，$\beta$ 和 $\gamma$ 取什么值时，该系统是一个幅度响应为 $K$ 全通系统。

$$\begin{cases} \alpha = -\lambda^* \cdot K\\ \beta = 1\\ \gamma = \lambda \end{cases}\\ \lambda \in \mathbb{C}$$

7.30 二型线性相位 FIR 滤波器的传输函数为：
$$H_1(z) = 2.5+0.5 z^{-1}+0.35 z^{-2}+5.47 z^{-3}+5.47 z^{-4}+0.35z^{-5}+0.5 z^{-6}+2.5 z^{-7}$$

1. 求相同幅度响应的最小相位 FIR 系统
2. 求相同幅度响应的最大相位 FIR 系统
3. 求相同幅度响应的混合相位 FIR 系统
4. 上述系统一共有多少个

$$\begin{cases} a_1= 0.8000 + 1.1662j\\ a_2= 0.8000 - 1.1662j\\ a_3=-1.0000 + 0.0000j\\ a_4=-0.8000 + 0.6000j\\ a_5=-0.8000 - 0.6000j\\ a_6= 0.4000 + 0.5831j\\ a_7= 0.4000 - 0.5831j\\ \end{cases}$$

$$\begin{cases} a_1=a_2=1.4142\\ a_3=a_4=a_5=1\\ a_6=a_7=0.7071 \end{cases}$$
$a_3,a_4,a_5$ 已经在圆上了，我们只能移动 $a_1,a_2,a_3,a_4$. 由于不要求是线性相位，所以可以只移动单个零点。所以：

1. $H_2(z)=\vert a_1\vert^2 \vert a_2 \vert^2(1-(a_1^{-1})^*z^{-1})(1-(a_2^{-1})^*z^{-1})(1-a_3z^{-1})(1-a_4z^{-1})(1-a_5z^{-1})(1-a_6z^{-1})(1-a_7z^{-1})$
2. $H_3(z)=\vert a_6\vert^2 \vert a_7 \vert^2(1-a_1z^{-1})(1-a_2z^{-1})(1-a_3z^{-1})(1-a_4z^{-1})(1-a_5z^{-1})(1-(a_1^{-1})^*z^{-1})(1-(a_2^{-1})^*z^{-1})$
3. 有多个，只写其中一个：$H_4(z)=\vert a_1\vert^2(1-(a_1^{-1})^*z^{-1})(1-a_2z^{-1})(1-a_3z^{-1})(1-a_4z^{-1})(1-a_5z^{-1})(1-a_6z^{-1})(1-a_7z^{-1})$
4. $2^4-1=15$ 种

7.39 1型实系数 FIR 滤波器具有如下零点：$z_1=1$,$z_2=-0.6$,$z_3=-1+j$，求剩余零点并写出传输函数

$$z_2 \rightarrow \frac{1}{z_2}\\ z_3 \rightarrow \frac{1}{z_3},z_3^*,\frac{1}{z_3^*}$$ 由于 1 型 FIR 是镜像多项式，所以在 $z=1$ 处至少有 2 个零点。故可以写出其传输函数为：
\begin{aligned} H(z)=&(1-z^{-1})^2(1+0.6z^{-1})(1+\frac{1}{0.6}z^{-1})(1+(-1+j)z^{-1})(1+(-1-j)z^{-1}) \\&(1+\frac{1}{-1+j}z^{-1})(1+\frac{1}{-1-j}z^{-1}) \end{aligned}

7.54 设 $P(z)$ 和 $Q(z)$ 是次数为 $N$ 和 $M$ 的两个反镜像多项式，且 $M=N-2R$，证明：$X(z)=P(z)+z^{-R}Q(z)$ 是一个次数为 $N$ 的反镜像多项式

\\ \begin{aligned} -z^{-N} X (z^{-1}) &= -z^{-N} P(z^{-1})-z^{-N+R} Q(z^{-1})\\ &=P(z)+z^{M-N+R} Q(z)\\ &=P(z)+z^{N-2R-N+R} Q(z)\\ &=P(z)+z^{-R} Q(z)\\ &=X(z) \end{aligned}