电路复习

这是我复习时写的一份非常完整的复习笔记,本学期佛系补全,要是有哪位小朋友能帮我打字的话就快一点(想peach😅)。应该能在复习周前补完。 未经授权,不允许转载。 图以后再加。

一 电路模型和电路定律

概念

理想元件:具有某种确定电磁性质,并由精确数学定义的基本结构。

集总元件:任何时刻,满足下两性质的二端元件:(1) 流入电流等于流出电流;(2) 端子间的电压为单值。

集总参数元件:电、磁物理现象由元件来集总表征,元件外不存在电、磁场。

线性元件:表征元件特性的代数关系为线性关系。

知识点

一、关联参考方向—— $u$、$i$ 参考方向相同

关联时,

非关联时,

Attention! 全书最大的坑,一定要注意符号


二、受控电源(无源元件)

控制量 控制 受控量→ 受控XX源
$ \begin{align*} {\color{red} V} \text{oltage}\\ {\color{red} C} \text{urrent} \end{align*} $ ${\color{red} C} \text{ontrol}$ $ \begin{align*} {\color{red} V} \text{oltage}\\ {\color{red} C} \text{urrent} \end{align*} $ ${\color{red} S}\text{ource}$

受控 XX 源中的 “XX”取决于受控量。标红部分的字母合在一起就是缩写。


三、基尔霍夫定律

前提:集总电路

内容:

  • 电流定律(KCL):流出结点的电流等于流入结点的电流,以流出电流为正,则电流代数和 $\sum i=0$
  • 电压定律(KVL):回路中,支路电压的代数和恒为零,以顺时针为正,则电压代数和 $\sum u=0$

二 电阻电路的等效变换

概念

时不变线性电路:由时不变线性无源元件、线性受控源、独立电源组成的电路。

知识点

等效电路:对外等效,即等效后,端口的伏安特性曲线完全相同,对内不等效。

模型

① 电阻串联、并联(略)

② 惠斯通电桥:平衡时,有 $R_1R_4=R_2R_3$(对角电阻相乘相等)

③ $\rm{Y}-\Delta$ 等效:外大内小,$R_Y=\frac{1}{3} R_{\Delta}$

④ 电压源串联:$u_s=\sum u_{si}$;电流源并联:$i_s=\sum i_{si}$ (注意方向)

⑤ 实际电源模型:

Attention! 这部分内容只适用于纯电阻电路,对于含受控源的,只能通过加压求流来求。(不过一般都是设控制量)

技巧 求输入电阻(Attention! 适用于一端口,即输入电流 = 输出电流)

  • 法一:加压求流(加流求压):设输入电压/电流,求出输出电流/电压
  • 法二:设“1”法:先设某一元件电流或电压为 1,逆推出端口的电流和电压

三 电阻电路的一般性分析

概念

图论:

    • 结点
    • 支路
    • 树支
    • 连支

知识点

独立方程组:

  • KCL:$(n-1)$,$n$ 为电路的结点数
  • KVL:连支数,即 $(b-n+1)$,$b$ 为支路数,$n$ 同上

简单推导:
$b$ 条支路要构建一棵树,除根外,每个结点要用一条支路,故剩下 $b-(n-1)$ 个连支。

方法

最笨的方法:列 $n-1$ 个 KCL,$b-n+1$ 个 KVL,$b$ 个 VCR,共 $2b$ 个方程,解出 $b$ 个 $i$,$b$ 个 $u$

支路电流法:将 KVL 用电流未知量表示出来,再加上 KCL,共 $b$ 个方程,解出 $b$ 个 $i$。类比可得 支路电压法

注:
1. 做题时先指明电流/电压的方向。
2. 有电流源:减少一个电流未知量,增加一个电压未知量。列 KVL 时,尽量让电流元在连支(避开电流源)。
3. 有受控源:增加一个控制量与未知量的方程。

回路电流法:(本质为 KVL,共 $b-n+1$ 个方程)

  1. 选取 $b-n+1$ 个回路(一般选择网孔)
  2. 列回路电流及回路方向
  3. 列 KVL,其中,每个支路上的电压 = (支路上的所有电流的代数和)×电阻

注:
1. 若回路选取网孔,则为网孔电流法
2. 若所有回路的方向都相同,则方程可整理为下列形式(注意电压源的正方向与回路方向相反):
$$ \begin{aligned} i \cdot \sum R - R_1 i_1 - R_2 i_2 -\cdots &= U_s\\ (回路上的电阻和)\times 回路电流 - 互阻 \times 对应电流 &= 电压源 \end{aligned} $$
3. 受控源、无伴电流源的处理方法同上。

结点电压法:(本质为 KCL,共 $n-1$ 个方程)

  1. 选取参考结点(0 电位参考点)
  2. 设结点电压(设为正,高于 0 电位)
  3. 以流出为正,流入为负,列各结点的 KCL。 其中,某一支路电流 = (该结点电压 - 另一端点的电压)×电导。 因此,方程形式为:

注:
① 无伴电压源的处理方法类比于上面的电流源
② 参考电压的选取:
  a. 优先选电压源的负端   b. 选支路多的结点
③ 注意电导!!且当支路上有电流源时,该支路上的电阻忽略
$$ G = \frac{1}{\sum R} \neq \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} $$

关于上述方法的选择:
1. 完全不用考虑 ① ②
2. ③ ④ 哪个方程少用哪个

四 电路定理

知识点

一、叠加定理

  前提:电路具有线性性质 $\begin{cases}可加性\齐次性\时延性\end{cases}$

  结论:原电路的响应为相应分电路中分响应的 代数和

Attention!

  1. 电源置零 → 电压源短路,电流源开路;
  2. 功率并不满足叠加定理;
  3. 受控源的控制量为叠加后的量,并且可以将其当作电源处理。

  应用:① 可以用于分析有很多独立电源的电路;② “倒推法” 书P88


二、替代定理

  前提:线性、非线性都行

  结论:若某个一端口的电压为 $u$,电流为 $i$,则可以用 $u$ 的电压源 or $i$ 的电流源代替它。

  区别:$\begin{cases}等效:伏安曲线要一致——不同的 u,i\替代:伏安曲线的某点相同——特定的 u,i\end{cases}$

  特例:以下情况无法替代:

  1. 外部受控源的控制量在一端口内
  2. 替代后不能出现只有电压源的回路 or 只有电流源的结点

三、戴维宁定理和诺顿定理

  前提:含线性电阻、电压源、受控源的一端口

  结论:可等效成“电压源串电阻”(戴维宁定理)或“电流源并电阻”(诺顿定理)

  证明:(见书 P92,挺有趣的)

  求法:

  1. 电阻的求法同“求输入电阻”,但要先将电源置零。 开路求电压,短路求电流
  2. 直接求端口 $u,i$ 的伏安关系

四、最大功率传输

五 含运算放大器的电阻电路

概念

放大器:将输入电压放大一定倍数后输出。这个“倍数”称为 电压放大倍数电压增益

运算放大器:高增益、高输入电阻、低输出电阻的放大器

模型

一、开环运行(仅作了解)

二、闭环运行——倒向比例器

三、理想运算放大器

  1. 前提:$R_i=\infty$,$R_o=0$,$A=\infty$
  2. 符号:
  3. 特性:虚断 $i^+=i^-=0$
       虚短 $u^+=u^-$
    解题时对同、反向输入端列 KCL 即可。

六 储能元件

知识点

电容元件:

  1. 元件特性:$q=Cu$,$C$ 的单位为 $\text{F}$ 法
  2. VCR:$i=\dfrac{\dif q}{\dif t}=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$
       $u=u_0+\frac{1}{C}\int_0^t i \dif t$
       $q=q_0+\int_0^t i \dif t$
  3. 能量:$W=\int_{-\infty}^t ui \dif t = \frac{1}{2} Cu^2 \Big\vert_{-\infty}^t=\frac{1}{2}Cu_t^2$

电感元件:

  1. 元件特性:$\Psi=Li$,$L$ 的单位为 $\text{H}$ 亨
  2. VCR:$u=\dfrac{\dif \Psi}{\dif t}=L\dfrac{\dif i}{\dif t}$
       $i=i_0+\frac{1}{L}\int_0^t u \dif t$
       $\Psi=\Psi_0+\int_0^t u \dif t$
  3. 能量:$W=\int_{-\infty}^t ui \dif t =\frac{1}{2}Li^2 \Big\vert_{-\infty}^t=\frac{1}{2}Li_t^2$

Attention! 以上均为关联参考方向。

注:
① 电容的电压、电感的电流都取决于先前的值,故电容、电感称为记忆元件
② 电容、电感只能吸/放能,并不消耗/产生能量,故称为储能元件

模型

①电容串联:由 $u=u_0+\frac{1}{C}\int_0^t i \dif t$ 得:$u_\text{eq}=\sum u_0 + \sum \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i \dif t$
    故:$\frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$
 电容并联:由 $i=\dfrac{\dif q}{\dif t}=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$ 得:$i_\text{eq}=\sum C \cdot \frac{\dif u}{\dif t}$
    故:$C_\text{eq}=C_1+C_2+\cdots$
 综上,电容≈$G$

②电感串联:由 $u=\dfrac{\dif \Psi}{\dif t}=L\dfrac{\dif i}{\dif t}$ 得:$u_\text{eq}=\sum L \cdot \frac{\dif i}{\dif t}$
    故:$L_\text{eq}=L_1+L_2+\cdots$
 电感并联:由 $i=i_0+\frac{1}{L}\int_0^t u \dif t$ 得:$i_\text{eq}=\sum i_0 + \sum \frac{1}{L}\cdot \int_0^t u \dif t$
    故:$\frac{1}{L_\text{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\cdots$
 综上,电感≈$R$

第七章

概念

动态电路:含动态元件的电路

一阶电路:含一个动态元件的电路

知识点

环路定理:若环路前的电容电流/电感电压为有限值,换路后电容电压/电感电流不跃变。公式表述为:

模型

① 零输入响应:仅由动态元件初始储能所产生的响应。

注:
1. 时间常数 $\tau=RC=\dfrac{L}{R}$,则两个解可统一为:$e^{-t/\tau}$,$\tau$ 反映过渡过程得进展速度,一般认为 $t=3\tau\sim5\tau$ 过渡过程结束。
2. 换路后电容电压/电感电流不跃变,但电容电流/电感电压可跃变。


② 零状态响应:动态元件初始储能为 0 时,由外加激励引起得响应。

注:
$$ W_R=\int_0^\infty i^2 R\dif t=\int_0^\infty\left(\frac{\dif u_C}{\dif t}\frac{C}{R}\right)^2 R\dif t\\ =\int_0^\infty\left(\frac{U_s}{R}e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^2 R\dif t\\ =\frac{1}{2} C U_s^2 $$
故电源释放的能量有一半用于充能,一半用于电阻,充电效率为 50%


③ 全相应:非零状态的电路受到激励。(以下结论不加证明地给出)

  直流激励下,有:

  正弦激励下,有:


④ 二阶电路的零输入响应

  RLC串联:设初始时,电容为 $u_0$,电感为 $i_0$,则有:

  若 $u_0\neq 0,i_0=0$,有下面三种情况:

  1. $(RC)^2>4LC$,非振荡放电(过阻尼)
  2. $(RC)^2=4LC$,临界情况
  3. $(RC)^2<4LC$,振荡放电(欠阻尼)

Attention 上面所有都是串联,若题目中出现并联,需要用戴维宁等效(对电源和R)


⑤ 阶跃响应

  可看作零状态响应,只要照前面正常算,然后乘or加就好咯~

⑥ 冲激响应:对阶跃响应求导就好咯~

八 相量法

  书中得解释太无聊了,下面我用一点简单有趣但完全不失准确性的文字来解释一下。

  首先,我们先要了解我们的目的,即解出电流、电压的大小。与前几章不同的是,激励不是直流电源,而是交流电源。交流最大的特定是什么?变化,用数学语言来说就是 $\cos$($\sin$ 也行,统一起见,以后用 $\cos$)

  上图(图以后补,现在先想象一下)就是一个再普通不过的 $\cos$ 了,用数学表示为 $y=A\cos(\omega x +\varphi)$,$A$ 是最大值,$\omega$ 是角频率,$\varphi$ 是初相。

  三角函数有一个很神奇的性质:无论我们如何虐待它,它都是三角函数,无论求导、积分、加、减、乘、除(如果要抬杠的话,可能两个相同的三角函数相减或相除不太行)。所以可以想象,如果电源是交流电,那么,电路中所有的电压电流都是“交流”的。

  尽管对三角函数运算不会改变其本质,但会改变其形式。比如对上面的 $y$ 求导,会得到 $y’=-\omega A\sin(\omega x+\varphi)=\omega A\cos(\omega x + \varphi+90^\circ)$,看吧,最大值和初相都变了,但是,有一个东西没变——角频率 $\omega$(加减运算也不会改变,数乘也不会改变)。

  总结一下,交流电路中有两样东西不会变:$\cos$ 和角频率 $\omega$,我们只需要算 $A$ 和 $\varphi$ 即可

  Boom!那就是所有奥秘的开始。$A$ 和 $\varphi$ 一个是大小,一个是角度,那么它俩恰好可以表示极坐标下的一个点,或者说,一个向量。而对于角度实际意义是初“相”,为了区分数学的“向”量,我们将其改名为“相量”(实际还是向量),并记为 $A\angle \varphi$

  所以,我们可以用“相量”进行运算(运算法则同向量)。比如说加法/减法:

  为了简化右边的括号,我们引入虚数:$A\angle\alpha=A\cos\alpha+jA\sin\alpha$,用 $j$ 是为了区分电流。

  至于积分:

  至于求导:

  至于乘除,则有点特殊,首先,必须是“数乘”,即不能两个都是相量(否则 $\omega$ 会变)。假设一个是相量 $A\angle\alpha$,一个是常数 $k\angle \varphi$($\omega=0$ 的相量),则根据欧拉公式,有:

  什么,你不会欧拉公式,那就只能死算了:

  类比可以得到除法为 $A\angle\alpha \div k\angle \varphi=\frac{k}{A} \angle(\alpha-\varphi)$

  将上面的运算法则用到电路中。如果电压 $u=\sqrt{2} U \cos(\omega t+\varphi)$,则记其的相量为 $\dot{U}=U\angle\varphi$,有个细节:我们一般用有效值运算,如果用最大值,则应记为 $\dot{U}_m=\sqrt{2}U\angle \varphi$

  将这个电压加在一个电阻上,由 $i=\dfrac{u}{R}$,得 $\dot{I}=\dfrac{\dot{U}}{R}$

  如果加在一个电容上,由 $i=C\dfrac{\dif u}{\dif t}$,得 $\dot{I}=\omega CU \angle (\varphi+90^\circ)$$=\omega C\angle 90^\circ \cdot \dot{U}$

  如果加在一个电感上,由 $i=\dfrac{1}{L}\int u\dif t$,得 $\dot{I}=\dfrac{U}{\omega L} \angle(\varphi-90^\circ)$$=\frac{1}{\omega L}\angle (-90^\circ)\cdot \dot{U}$

  可以发现,上面三个可以统一写成 $\dot{I}=\dfrac{\dot{U}}{Z}$ 的形式,根据元件的不同,$Z$ 取 $R$ 或 $\dfrac{1}{\omega C\angle 90^\circ}$ 或 $\omega L \angle 90^\circ$,我们将 $Z$ 称为阻抗,相应的,$Y=\frac{1}{Z}$ 称为导抗

  $Z,\dot{I},\dot{U}$ 就相当于直流中的 $R,i,u$,它们的运算方式是相似的,因而,我们可以将直流中的所有定理、方法推广到交流中。但是,要注意上面我所讲的内容中,始终没出现功率,因为功率会将电压电流相乘,会改变角频率 $\omega$,因此 $P \neq \dot{I}\dot{U}$