时变场的位函数
时变场的位函数
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol}\\ \newcommand{\E}{\mathscr{E}}\\ \newcommand{\db}[1]{\dot{\boldsymbol{#1}}} \end{align*} $$将磁矢位代入麦克斯韦方程：
$$ \nabla\times\bd{E}=-\frac{\p}{\p t} \nabla\times \bd{A}=-\nabla\times \frac{\p A}{\p t}\\ \therefore \nabla\times(\bd{E}+\frac{\p \bd{A}}{\p t})=0 $$引入标量位函数（动态电位）$\phi$ 满足：
$$ \bd{E}+\frac{\p A}{\p t}=-\nabla\phi\\ \bd{E}=-\nabla \phi-\frac{\p \bd{A}}{\p t} $$将 $\bd{E}$ 代入电场的散度（电流连续性方程）：
$$ \nabla\cdot \bd{E}=\nabla\cdot (-\nabla\phi-\frac{\p \bd{A}}{\p t})=\frac{\rho}{\varepsilon} $$将 $\bd{E}$ 代入麦克斯韦第一方程：
$$ \nabla\times\bd{H}=\frac{1}{\mu} \nabla\times \nabla\times \bd{A}=\bd{J}+\varepsilon \frac{\p}{\p t} (-\nabla\phi-\frac{\p \bd{A}}{\p t}) $$对上两式进行展开：
$$ \begin{cases} \nabla^2 \phi + \dfrac{\p}{\p t} \nabla \cdot \bd{A}=-\dfrac{\rho}{\varepsilon}\\ \nabla\nabla\cdot \bd{A}-\nabla^2 \bd{A}=\mu \bd{J}-\mu\varepsilon \nabla\dfrac{\p \phi}{\p t}-\mu\varepsilon \dfrac{\p^2 \bd{A}}{\p t^2} \end{cases} $$为了使电场对应的位函数唯一，同时也为了方便化简上面的方程，引入洛伦兹规范条件：
$$ \nabla\cdot \bd{A}+\mu\varepsilon \frac{\p \phi}{\p t}=0 $$将规范代入一式得：
$$ \nabla^2 \phi + \mu\varepsilon\frac{\p^2 \phi}{\p t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon} $$代入二式得：
$$ \nabla^2 \bd{A}-\mu\varepsilon \frac{\p^2 \bd{A}}{\p t^2}=-\mu \bd{J} $$上两个方程称为非齐次达朗贝尔方程。下面我们来解第一个方程。
非齐次方程得解等于通解加特解。对于齐次方程，我们其解为：
$$ \phi ( \bd{r},t)=\frac{1}{r} [ f(t-\frac{r}{v})+g(t+\frac{r}{v}) ] $$之前说过，$f$ 是入射波，$g$ 是反射波。在无限大均匀介质中 $g=0$
而对于位于原点的点电荷，$\phi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon r}$，则代入齐次解得到 $\phi(\bd{r},t)=\dfrac{q(t-\frac{r}{v})}{4 \pi \varepsilon r}$。将用电荷密度替换点电荷，得到解：
$$ \phi(\bd{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon} \int_\tau \frac{\rho(\bd{r}', t-\frac{R}{v})}{R} \dif \tau' $$类似地，可以写出动态磁位：
$$ \bd{A}(\bd{r},t)=\frac{\mu}{4\pi} \int_\tau \frac{\bd{J}(\bd{r}', t-\frac{R}{v})}{R} \dif \tau' $$由于场、源不同步，场比源滞后 $\Delta t=\frac{R}{v}$，所以又称为“滞后位”、“推迟势”。
位函数的复数表示
位函数满足如下三个方程：
$$ \begin{cases} \bd{E}=-\nabla \phi - \frac{\p \bd{A}}{\p t}\\ \bd{B}=\nabla \times \bd{A}\\ \nabla\cdot\bd{A}=-\mu\varepsilon \frac{\p \phi}{\p t} \end{cases} $$替换为复数形式：
$$ \begin{cases} \db{E}=-\nabla\dot{\phi}-j\omega \db{A}\\ \db{B}=\nabla\times\db{A}\\ \nabla\times\db{A}=-j\omega\mu\varepsilon \dot{\phi} \end{cases} $$同理，对法朗贝尔方程替换得到：
$$ \nabla^2 \db{A}+k^2 \db{A}=-\mu\db{J}\\ \nabla^2 \db{\phi}+k^2 \db{\phi}=-\frac{\dot{\rho}}{\varepsilon} $$其解为：
$$ \db{A}=\frac{\mu}{4\pi} \int_\tau \frac{\db{J}e^{-jkR}}{R} \dif \tau'\\ \db{\phi}=\frac{1}{4\pi\varepsilon} \int_\tau \frac{\dot{\rho}e^{-jkR}}{R} \dif \tau' $$上式说明场源之间存在 $e^{-jkR}$ 的相位差，相位差与 $k$、$R$ 有关。