时谐变电磁场
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol}\\ \newcommand{\E}{\mathscr{E}}\\ \newcommand{\db}[1]{\dot{\boldsymbol{#1}}} \end{align*} $$时谐电磁场的复数表示法
与电路的相量类似，如果 $\bd{E}$ 的每个分量都是时间的 正/余弦函数，称为时谐电磁场。我们可以写成如下形式：
$$ \bd{E}(\bd{r},t)=\hat{a}_x E_x(\bd{r},t)+\hat{a}_y E_y(\bd{r},t)+\hat{a}_z E_z(\bd{r},t)\\ E_x(\bd{r},t)=E_{xm}(\bd{r}) \cos[\omega t+ \varphi_x(\bd{r})]\\ E_y(\bd{r},t)，E_z(\bd{r},t)类似 $$则我们令：
$$ E_x(\bd{r},t)=E_{xm} \cos(\omega t+\varphi_x)=\mathrm{Re}(\dot{E}_{xm}e^{j\omega t})\\ \dot{E}_{xm}=E_{xm} e^{j\varphi_x} $$$\dot{E}_{xm}$ 称为复振幅。用类似的方法定义$ \dot{E}\_{ym},\dot{E}\_{zm}$，然后再合成：
$$ \dot{\bd{E}}_m=\hat{a}_x \dot{E}_{xm}+\hat{a}_y \dot{E}_{ym}+\hat{a}_z \dot{E}_{zm}\\ \bd{E}(\bd{r},t)=\mathrm{Re}(\dot{\bd{E}}_m e^{j\omega t}) $$$\dot{\bd{E}}_m(\bd{r})$ 称为 $\bd{E}(\bd{r},t)$ 的复振幅矢量，简称复矢量。复振幅消去了频率和时间，只保留了幅度和相位。为了区分，称 $\bd{E}(\bd{r},t)$ 为瞬时值。复振幅矢量消去了时间分量，因此可以可以简化求导、积分运算，因为：
$$ \frac{\p \bd{D}}{\p t}=\frac{\p}{\p t}\mathrm{Re}(\dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t})=\mathrm{Re} \left[ \frac{\p}{\p t}(\dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t}) \right]=\mathrm{Re}(j\omega \dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t})\\ \int \bd{D} \dif t=\int \mathrm{Re}(\dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t}) \dif t = \mathrm{Re}(\int \dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t} \dif t)= \mathrm{Re}(\frac{\dot{\bd{D}}_m e^{j\omega t}}{j\omega}) $$我们常用有效值 $\db{E}$ 代替最大值 $\db{E}_m$，这两者相差一系数 $\sqrt{2}$
麦克斯韦方程组的复数形式
将 $\mathrm{Re}(\dot{\bd{E}}_m e^{j\omega t})$ 等复数表示代入麦克斯韦方程组，由于 $\mathrm{Re}$，$e^{j\omega t}$ 都可以消去，而 $\nabla$ 运算不影响复数，从而有：
$$ \begin{cases} \nabla \times \db{H}=\db{J}+j\omega \db{D}\\ \nabla\times\db{E}=-j\omega \db{B}\\ \nabla\cdot\db{B}=0\\ \nabla\cdot\db{D}=\db{\rho} \end{cases} $$$$ \begin{cases} \db{D}=\varepsilon\db{E}\\ \db{B}=\mu\db{H}\\ \db{J}=\sigma\db{E} \end{cases} $$无源区的麦克斯韦方程为：
$$ \begin{cases} \nabla \times \db{H}=j\omega \varepsilon\db{E}\\ \nabla\times\db{E}=-j\omega \mu \db{H} \end{cases} $$注：$\varepsilon$ 和 $\mu$ 只有在理想介质 $\sigma=0$ 中才是实数，否则是复数。
同理，也可以得到频域波动方程：
$$ \begin{cases} \nabla^2 \db{H}+k^2 \db{H}=-\nabla\times \db{J}\\ \nabla^2 \db{E}+k^2 \db{E}=j\omega \mu \db{J}+\frac{\nabla \rho}{\varepsilon} \\ \end{cases} 波数：k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi/\lambda $$若是在无源区，则得到亥姆霍兹方程：
$$ \begin{cases} \nabla^2 \db{H}+k^2 \db{H}=0\\ \nabla^2 \db{E}+k^2 \db{E}=0\\ \end{cases} 波数：k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=2\pi/\lambda $$复电容率与复磁导率
在导电媒质中，由麦克斯韦第一方程（全电流定理）：
$$ \begin{align} \nabla \times \db{H}&=\db{J}+j\omega \db{D}\\ &=\sigma \db{E}+j\omega \varepsilon \db{E}\\ &=j\omega (\varepsilon-j\frac{\sigma}{\omega})\db{E}\\ &=j\omega\varepsilon_c \db{E} \end{align} $$$\varepsilon_c=\varepsilon-j\frac{\sigma}{\omega}$ 称为复电容率。注意到最后的等号和无源区是一致的。
导电损耗平均功耗密度：
$$ p_T=\mathrm{Re} \left[ \frac{1}{2} \db{E}_m \cdot \db{J}_{cm}^* \right]=\frac{1}{2} \sigma E^2 $$在色散媒质中，$\bd{P}=\chi_e \varepsilon_0 \bd{E}$ 由于介质的阻尼作用，在高频时 $\bd{P}$ 会滞后于 $\bd{E}$，即 $\db{P}=\chi_e \varepsilon_0 \db{E} e^{-j\alpha}$，$\alpha$ 表示滞后量。从而：
$$ \db{P}=\dot{\chi}_e \varepsilon_0 \db{E}\\ \dot{\chi}_e=\chi_e e^{-j\alpha} $$故介电常数可写成：
$$ \begin{align} \varepsilon &= \varepsilon_0 (1+\dot{\chi}_e)\\ &= \varepsilon_0 (1+\chi_e e^{-j\alpha})\\ &= \varepsilon_0 (1+\chi_e \cos \alpha - j \chi_e \sin\alpha)\\ &=\varepsilon'-j\varepsilon'' \end{align} $$介电损耗平均功率密度为：
$$ p_{av}=\mathrm{Re} \left[ \frac{1}{2} \db{E}_m \cdot \db{J}_{dm}^* \right]=\mathrm{Re} \left[ \frac{1}{2} \db{E}_m \cdot j\omega \varepsilon^* \db{E}_m^* \right]\\ =\frac{1}{2} \omega \varepsilon'' E^2 $$从上可见，介电损耗来源于 $\varepsilon$ 的虚部。
为了表征介质损耗程度，我们定义：
- 介电损耗角：$\tan \delta_e = \varepsilon''/\varepsilon'$
- 磁损耗角：$\tan\delta_m = \mu''/\mu'$
在导电+色散媒质中，我们有：
$$ \begin{align} \nabla \times \db{H}&=\db{J}+j\omega \db{D}\\ &=\sigma \db{E}+j\omega (\varepsilon'-j\varepsilon'') \db{E}\\ &=j\omega \left[ \varepsilon'-j(\varepsilon''+\frac{\sigma}{\omega})\right]\db{E}\\ &=j\omega\varepsilon_c \db{E} \end{align}\\ \varepsilon_c=\varepsilon''+\frac{\sigma}{\omega} $$同样与无源区的形式相同。所以我们只需要用 $\varepsilon_c$ 代入无源区麦克斯韦方程，就能求出有源区的情况。因此后面我们以讨论无源区为主。