边界条件与波动方程

\begin{array}{r}  \end{array}

由于麦克思维方程组的微分形式在不同媒质的分界面上不成立（不连续），所以只能用积分形式来推导。

{\begin{cases} \oint_{C} H \cdot d l = \int_{S} J \cdot d S + \int_{S} \frac{\partial D}{\partial t} \cdot d S \\ \oint_{C} E \cdot d l = - \int_{S} \frac{\partial E}{\partial t} \cdot d S \\ \oint_{S} B \cdot d S = 0 \\ \oint_{S} D \cdot d S = q \end{cases}

法向边界条件

批注 2020-05-24 185835

作闭合柱面，根据前面的过程（这里就不写了），我们有：

{\begin{cases} n \cdot (B_{1} - B_{2}) = 0 \\ n \cdot (D_{1} - D_{2}) = ρ_{s} \end{cases} 或 {\begin{cases} B_{1 n} = B_{2 n} \\ D_{1 n} - D_{2 n} = ρ_{s} \end{cases}

切向边界条件

批注 2020-05-24 190746

作闭合矩形，根据前面的过程（这里就不写了），我们有：

{\begin{cases} n \times (H_{1} - H_{2}) = J_{s} \\ n \times (E_{1} - E_{2}) = 0 \end{cases} 或 {\begin{cases} H_{1 t} - H_{2 t} = J_{s} \\ E_{1 t} - E_{2 t} = 0 \end{cases}

下面对切向磁场进行解释（为什么没有传导电流）。

对磁场进行线积分，有：

\oint_{C} H \cdot d l = H_{1} \cdot \hat{t} Δ l - H_{2} \cdot \hat{t} Δ l = I_{C} + I_{D} \begin{aligned} I_{C} & = \int_{S} J \cdot d S = J_{S} \cdot {\hat{a}}_{S} Δ l \\ I_{D} & = \int_{S} \frac{\partial D}{\partial t} \cdot d S = lim_{Δ h \to 0} \frac{\partial D}{\partial t} \cdot {\hat{a}}_{S} Δ h Δ l = 0 \end{aligned} ∴ \hat{n} \times (H_{1} - H_{2}) = J_{S}

总结如下：切向电场强度与法向磁感应强度连续，法向电位移和切向磁场强度不连续。

{\begin{cases} H_{1 t} - H_{2 t} = J_{s} \\ E_{1 t} - E_{2 t} = 0 \\ B_{1 n} - B_{2 n} = 0 \\ D_{1 n} - D_{2 n} = ρ_{s} \end{cases} （ 从 2 指 向 1 ）

批注 2020-05-24 190846

对于理想导体（ $σ \to \infty$ ）， $E = 0$ ， $B = 0$ 。我们把导体看作媒质2，则有：

{\begin{cases} \hat{n} \times H_{1} = J_{S} \\ \hat{n} \times E_{1} = 0 \\ \hat{n} \cdot B_{1} = 0 \\ \hat{n} \cdot D_{1} = ρ_{S} \end{cases}

上式说明：

（例 5-2-1）

在物理种，场量 $u$ 的波动方程标准形式为：

\nabla^{2} u - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = - g

$v$ 是波速， $t$ 是时间， $g$ 是源。波动方程的解为以速度 $v$ 传播的波。我们下面要做的，就是用麦克斯韦方程组，导出类似形式的电磁场波动方程：

在均匀、各向同性的媒质种，麦克斯韦方程组为：

{\begin{cases} \nabla \times H = ε \frac{\partial E}{\partial t} \\ \nabla \times E = - μ \frac{\partial H}{\partial t} \\ μ \nabla \cdot H = 0 \\ ε \nabla \cdot E = 0 \end{cases}

对第二方程求旋度：

\nabla \times \nabla \times E = - μ \nabla \times \frac{\partial H}{\partial t} ∵ \nabla \times \nabla \times E = \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^{2} E ∴ \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^{2} E = - μ \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times H

代入第一、四方程，得到：

\nabla^{2} E - μ ε \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} = 0

同样可以推出：

\nabla^{2} H - μ ε \frac{\partial^{2} H}{\partial t^{2}} = 0

在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以分解为三个方向的拉普拉斯算符之和，即：

\nabla^{2} E_{x} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} = 0 \nabla^{2} E_{y} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} = 0 \nabla^{2} E_{z} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} = 0

而标量的拉普拉斯算符为：

\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

故有：

\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} = 0

设媒质均匀、线性、各向同性，对麦克斯韦方程组的第一、第二方程求导数：

\begin{aligned} \nabla \times \nabla \times H & = \nabla \times J + \nabla \times \frac{\partial D}{\partial t} \\ = \nabla \times J + \frac{\partial \nabla \times D}{\partial t} \\ = \nabla \times J + ε \frac{\partial \nabla \times E}{\partial t} \\ = \nabla \times J + ε \frac{\partial B}{\partial t} \\ = \nabla \times J + ε μ \frac{\partial H}{\partial t} \end{aligned}

而 $\nabla \times \nabla F = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla^{2} F$

所以：

{\begin{cases} \nabla^{2} H - μ ε \frac{\partial^{2} H}{\partial t^{2}} = - \nabla \times J \end{cases}

为了方便运算，我们假设 $E = {\hat{a}}_{x} E_{x} (z, t)$ ，那么由波动方程：

\nabla^{2} E_{x} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} = 0 \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} - μ ε \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} = 0

这个方程有点复杂，这里直接给出其解的形式：

E_{x} (z, t) = f (t - \frac{z}{v}) + g (t + \frac{z}{v}) = A \cos ω (t - \frac{z}{v}) + B \cos ω (t + \frac{z}{v}) v = \frac{1}{\sqrt{μ ε}} m / s

式中 $f, g$ 是三角函数。先分析 $f$ ，选定相同相位点：

φ_{0} = t_{1} - \frac{z_{1}}{v} = t_{2} - \frac{z_{2}}{v}

假如 $t_{1} < t_{2}$ ，则 $z_{1} < z_{2}$ ，也就是说，当时间推移时，电磁波 $f$ 向 $+ z$ 方向传播。此时， $z_{2} - z_{1} = v (t_{2} - t_{1})$ ，说明传播速度就是 $v$ 。我们称 $f$ 为入射波（顺行波）。

类似地，电磁波 $g$ 向 $- z$ 方向传播，我们称 $g$ 为反射波（逆行波）。

在真空中， $v = c$