麦克斯韦方程组

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol}\\ \newcommand{\E}{\mathscr{E}} \end{align*} $$

法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律指：通过任意闭合导体回路的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势。用公式表示为：

$$ \E=-\frac{\dif \Phi}{\dif t}=-\frac{\dif}{\dif t}\int_S \bd{B}\cdot \dif \bd{S} $$

而感应电动势等于感应电场的环路积分（下标 i 表示 induced）：

$$ \E=\oint_C \bd{E}_i \cdot \dif \bd{l}\\ 空间中的总电场 E=E_q+E_i $$

从而有：

$$ \oint_C \bd{E}_i \cdot \dif \bd{l}=-\frac{\p}{\p t}\int_S \bd{B}\cdot \dif \bd{S} $$

这说明感应电场是由以下两因素引起：

• $S$ 不随时间变化，磁场变化（感生电动势）
• $S$ 以速度 $v$ 运动，磁场不变化（动生电动势）

由第一种情况，我们能得到第一种微分形式（静止系统）：

$$ \oint_C \bd{E}_i \cdot \dif \bd{l}=\int_S -\frac{\p \bd{B}}{\p t}\cdot \dif \bd{S}\\ \oint_S \left( \nabla\times \bd{E}+\frac{\p \bd{B}}{\p t} \right) \cdot \dif \bd{S}=0\\ \nabla\times \bd{E}=-\frac{\p \bd{B}}{\p t} $$

上式是麦克斯韦方程组的第二个方程。

对于第二种情况，在 $\Delta t$ 时间内，有：

$$ \begin{align} \Delta \phi&=\oint_S \bd{B}\cdot\dif \bd{S}\\ &=-\oint_C \bd{B}\cdot (\dif \bd{l}\times \bd{v} \Delta t)\\ &=-\oint_C (\bd{v}\times\bd{B})\cdot \dif \bd{l}\Delta t\\ \end{align}\\ \E_v=-\frac{\Delta \phi}{\Delta t}=\oint_C (\bd{v}\times\bd{B})\cdot \dif \bd{l}=\oint_C \bd{E} \cdot \dif \bd{l} \\ \therefore \bd{E}=\bd{v}\times\bd{B} $$

综合两种情况，从而有第二种微分形式（运动系统）：

$$ \oint_C \bd{E}' \cdot \dif \bd{l}=-\int_S \frac{\p \bd{B}}{\p t}\cdot \dif \bd{S} + \oint_C \bd{v}\times\bd{B}\cdot\dif \bd{l}\\ \nabla\times (\bd{E}'-\bd{v}\times\bd{B})=-\frac{\p \bd{B}}{\p t} $$

全电流定律

已知安倍环路定律：

$$ \nabla\times \bd{H}=\bd{J} $$

两边取散度运算：

$$ 梯旋散公式：\nabla\cdot(\nabla\times\bd{H})=0\\ 电荷守恒：\nabla\cdot\bd{J}=-\frac{\p \rho}{\p t} $$

在静态场中，电流的流入等于流出，电荷保持动态平衡，所以 $-\frac{\p \rho}{\p t}=0$，但是在时变场中，$-\frac{\p \rho}{\p t}\neq 0$，有矛盾，所以需要安倍环路定律进行修正。方法也很简单，就是将 $-\frac{\p \rho}{\p t}$ 移到左边：

$$ \nabla\cdot\bd{J}+\frac{\p \rho}{\p t}=\nabla \cdot \left( \bd{J}+\frac{\p \bd{D}}{\p t} \right)=0\\ 根据：\nabla\cdot\bd{D}=\rho $$

从而得到 全电流定律：

$$ \nabla\times \bd{H}=\bd{J}+\frac{\p \bd{D}}{\p t}\\ \oint_C \bd{H}\cdot\dif\bd{l}=I+I_D $$

• $\bd{J}=\sigma \bd{E}$ 称为 传导电流 Conduction Current（有时候会加下标 $\bd{J}_C$）。是由电荷在导体中的运动引起的。此外，电流在真空中运动形成的电流称为 运流电流。
• $\bd{J}_D=\dfrac{\p \bd{D}}{\p t}$ 称为 位移电流 Displacement Current。因为 $\bd{D}=\varepsilon_0 \bd{E}+\bd{P}$，可以看出位移电流是由电场变化引起的。

全电流=传导电流+运流电流+位移电流

$$ J_D=\frac{\dif D}{\dif t}=-\omega\varepsilon E_m\sin\omega t\\ J_C=\sigma E=\sigma E_m \cos \omega t\\ \left\vert \frac{J_C}{J_D} \right\vert=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{8}{9}\times 10^3 \gg 1 $$

说明此时传导电流为主，可以忽略位移电流。

根据上面例题，我们有：

• 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\gg 1$，$J_C \gg J_D$，称为良导体；
• 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll 1$，$J_C \ll J_D$，称为良介质；
• 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\rightarrow \infty$，$J_d\rightarrow 0$，称为理想导体。
• 若 $\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\rightarrow 0$，$J_D\rightarrow 0$，称为绝缘体。

麦克斯韦方程组

由库伦定律、比奥-萨法尔定律、法拉第电磁感应定律，我们有微分形式的麦克斯韦方程组：

$$ \begin{cases} 全电流定律：\nabla\times\bd{H}=\bd{J}+\frac{\p \bd{D}}{\p t}\\ 电磁感应定律：\nabla\times\bd{E}=-\frac{\p\bd{B}}{\p t}\\ 磁通连续性定理：\nabla\cdot\bd{B}=0\\ 高斯定理：\nabla\cdot\bd{D}=\rho \end{cases} $$

积分形式：

$$ \begin{cases} \oint_C \bd{H}\cdot\dif\bd{l}=\int_S \bd{J}\cdot \dif \bd{S}+\int_S \frac{\p \bd{D}}{\p t} \cdot \dif \bd{S}\\ \oint_C \bd{E}\cdot\dif\bd{l}=-\int_S \frac{\p \bd{E}}{\p t} \cdot \dif \bd{S}\\ \oint_S \bd{B} \cdot \dif \bd{S} = 0\\ \oint_S \bd{D}\cdot \dif \bd{S}=q \end{cases} $$

根据微分形式，可以看出，麦克斯韦方程组描述了：电场的旋度、散度性质，磁场旋度、散度性质。同时，描述了时变磁场与时变电场的关系。还描述了空间与时间的关系。这些会在后续学习中深入体会。

限定形式的麦克斯韦方程组

本构关系

麦克斯韦方程组中有 5 个矢量（B,H,E,D,J）和 1 个标量，总共 $5\times3+1=16$ 个标量，但独立方程只有 7 个，需要补 9 个才能确定 16 个变量。

补充方程：媒质的本构关系：

$$ \begin{cases} \bd{D}=\varepsilon \bd{E}\\ \bd{B}=\mu\bd{H}\\ \bd{J}=\sigma\bd{E} \end{cases}\\ \varepsilon,\mu,\sigma 已知 $$

无源区的麦克斯韦方程

由于没有源，即 传导电流 $\bd{J}=0$，自由电荷 $\rho=0$，故有

$$ \begin{cases} \nabla\times\bd{H}=\frac{\p \bd{D}}{\p t}=\varepsilon \frac{\p \bd{E}}{\p t}\\ \nabla\times\bd{E}=-\frac{\p\bd{B}}{\p t}=-\mu\frac{\p\bd{H}}{\p t}\\ \nabla\cdot\bd{B}=\mu \nabla \cdot \bd{H}=0\\ \nabla\cdot\bd{D}=\varepsilon \nabla \cdot \bd{E}=0 \end{cases} $$

（例 5-1-6）

$$ \bd{E}=\hat{a}_\rho \frac{100}{\rho} \cos(10^8 t-\beta z) \quad \rm{V/m} $$

求：$\beta$，$H$，以及在 $0 \leq z \leq 1$ 的一段同轴线的总位移电流 [!NOTE]