分离变量法

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*} $$

分离变量法

分离变量法更多是从数学的角度去解拉普拉斯方程 $\nabla^2\phi=0$

位函数 $\phi$ 的拉普拉斯方程为：

$$ \nabla^2 \phi = \frac{\p^2 \phi}{\p x^2}+\frac{\p^2 \phi}{\p y^2}+\frac{\p^2 \phi}{\p z^2}=0 $$

设：$\phi(x,y,z)=f(x)g(y)h(z)$，$f$ 是不含 $y,z$ 的函数，$g,h$ 同理。

则：

$$ \begin{align} \nabla^2 \phi &= gh\,\frac{\p^2 f}{\p x^2}+fh\,\frac{\p^2 g}{\p y^2}+fg\,\frac{\p^2 h}{\p z^2}\\ &=\frac{1}{f}\frac{\p^2 f}{\p x^2}+\frac{1}{g}\frac{\p^2 g}{\p y^2}+\frac{1}{h}\frac{\p^2 h}{\p z^2}\\ &=0 \end{align} $$

考虑到 $x,y,z$ 是单独可变的，要使上面的和式为 0，不可能通过三个函数相加得到恒 0 （其中一个变量稍微一变就不为 0），所以和式各项只能是常数。即：

$$ \begin{cases} \frac{1}{f}\frac{\p^2 f}{\p x^2}=-k_x^2\\ \frac{1}{g}\frac{\p^2 g}{\p y^2}=-k_y^2\\ \frac{1}{h}\frac{\p^2 h}{\p z^2}=-k_z^2 \end{cases}\\ k_x^2+k_y^2+k_z^2=0 $$

其中，$k_a,k_b,k_c$ 是在复数域上的常数。$\frac{1}{g}\frac{\p^2 f}{\p x^2}=-k_x^2$ 是二阶常微分方程，可以写成：$\frac{\p^2 f}{\p x^2}+k_x^2 f=0$，其特征方程为：$r^2+k_x^2=0$，根据特征根 $r_,r_2$ 的取值，可以给出通解：

	特征根	通解
$k_x^2<0$	$r_1 \neq r_2$	$f=C_1 e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$k_x^2=0$	$r_1 = r_2 = 0$	$f=C_1+C_2 x$
$k_x^2>0$	$r_1\neq r_2 = \pm i \beta$	$f=C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x$

根据边界条件，我们通常可以确定 $k$ 是大于/等于/小于 0，从而得到 $f$ 的解的形式，以及解中的部分常数的值。