恒定磁场的边界条件

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前面已经讨论过，恒定磁场的基本方程为：

积 分 形 式 ： {\begin{cases} \oint_{S} B \cdot S = 0 \\ \oint_{C} H \cdot d l = I \end{cases} 微 分 形 式 ： {\begin{cases} \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times H = J \end{cases}

磁矢位满足：

B = \nabla \times A \nabla \cdot A = 0 \nabla^{2} A = - μ J

对于磁介质，其表面存在磁化电流： $J_{s m} = M \times n$ 。如果是两个介质的分界面，表面磁化电流为： $J_{s m} = (M_{2} - M_{1}) \times n$ 。由于 $J_m s$ 存在，使得 $B, H$ 发生突变，导致场量不连续。下面就来说明介质分界面上矢量场所满足的关系。

边界条件

法向

\oint_{S} B \cdot S = B_{1} \cdot n Δ S - B_{2} \cdot n Δ S = 0 ∴ n \cdot (B_{1} - B_{2}) = 0 或 B_{1 n} = B_{2 n}

切向

\oint_{C} H \cdot d l = H_{1} \cdot Δ l - H_{2} \cdot Δ l = I

若有传导电流，则：

∵ I = J_{s} \cdot a_{s} Δ l Δ l = a_{s} \times n Δ l ∴ (H_{1} - H_{2}) \times (a_{s} \times n Δ l) = J_{s} \cdot a_{s} Δ l n \times (H_{1} - H_{2}) = J_{s} 或 H_{1 t} - H_{2 t} = J_{s}

若没有传导电流，则：

n \times (H_{1} - H_{2}) = 0 或 H_{1 t} = H_{2 t}

联系上面的 $B_{1 n} = B_{2 n}$ ，我们可以得到：在 $J_{s} = 0$ 时：

\frac{\tan θ_{1}}{\tan θ_{2}} = \frac{B_{1 t} / B_{1 n}}{B_{2 t} / B_{2 n}} = \frac{B_{1 t}}{B_{2 t}} = \frac{μ_{1} H_{1 t}}{μ_{2} H_{2 t}} = \frac{μ_{1}}{μ_{2}}

从上式我们可以推导出以下几条结论：

对于 $μ_{2} = \infty$ 的理想导磁体，由于 $B_{2} = μ_{2} H_{2}$ 是有限值，所以 $H_{2} = 0$ ，进而 $H_{1 t} = H_{2 t} = 0$ 。此时外面的磁场与理想导磁体表面垂直
对于铁磁-空气界面， $μ_{2} ≫ μ_{1}$ ，故 $θ_{2} \to π / 2$ ， $θ_{1} \to 0$ （磁屏蔽壳）

磁矢位的边界条件

{\begin{cases} \nabla \cdot A = 0 \to \oint_{S} A \cdot d S = 0 \to A_{1 n} = A_{2 n} \\ \nabla \times A = B \to (\nabla \times A_{1})_{n} = (\nabla \times A)_{n} \to A_{1 t} = A_{2 t} \end{cases} ∴ A_{1} = A_{2}

边界条件总结

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注：箭头的长短表示大小。长减短等于 0 或 $ρ_{s}$ 或 $J_{s}$

恒定磁场矢量磁位与矢量泊松方程