磁场的散度与旋度
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*} $$磁场的散度
我们一致电流产生的磁场可以表示为：
$$ \bd{B}(\bd{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}{\int_{V'}} \frac{ \bd{J}(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif V' $$由于 $\nabla \left( \frac{1}{R} \right) = -\frac{\bd{a}_R}{R^2}$（参考：标量场的梯度），所以我们有：
$$ \begin{align} \bd{B}(\bd{r}) &=\frac{\mu_0}{4\pi}{\int_{V'}} \frac{ \bd{J}(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif V'\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \bd{J}(\bd{r}') \times \left[ -\nabla \left(\frac{1}{R} \right) \right] \dif V'\\ &=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \left[ \nabla \left(\frac{1}{R} \right) \right] \times \bd{J}(\bd{r}') \dif V'\\ &= \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \left\{ \nabla \times \left[ \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \right]- \frac{1}{R} \nabla \times \bd{J} (\bd{r}') \right\} \dif V' \end{align} $$由于电场是无旋场，所以 $\nabla \times \bd{J} (\bd{r}')=0$，从而可得：
$$ \bd{B}(\bd{r}) = \nabla \times \left[ \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac{\bd{J}(\bd{r}')}{R} \dif V' \right] $$根据梯旋散，我们有：
$$ \nabla \cdot \bd{B} = 0 $$可见，磁感应强度是无散的。也就说，对于由电流所产生的磁场，必然不可能存在单独的磁荷（单独的 N 或单独的 S）
磁通连续性定理
- 磁通
- 磁通即磁感应强度穿过一个面的通量，即面 $S$ 上的磁通 $\Phi_m$ 定义为：
- $$\Phi_m = \int_S \bd{B}\cdot\dif \bd{S}$$
若 $S$ 是闭合面，则由于磁感应强度是无散的，所以磁通为 0。我们也可以直接从磁感应强度的定义推导出：
$$ \begin{align} \oint_S \bd{B}\cdot\dif \bd{S}&=\oint_S \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{C’} \frac{ I \dif \bd{l}' \times \bd{a}_R}{R^2}\cdot \dif S\\ &=\oint_S -\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C’} I \dif \bd{l}' \times \nabla(\frac{1}{R})\cdot \dif S\\ &=-\oint_{C'} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \dif \bd{l}' \cdot \oint_{S} \nabla(\frac{1}{R})\times \dif S\\ &=-\oint_{C'} \frac{\mu_0 I}{4\pi} \dif \bd{l}' \cdot \oint_{V} \nabla\times\nabla(\frac{1}{R}) \dif V\\ &=0 （梯旋散公式） \end{align} $$对上式进行微分，我们重新得到了前面的公式：
$$ \nabla\cdot \bd{B}=0 $$所以磁通量总是连续的，磁感应强度的矢量线是无头无尾的闭合线。比如在磁铁外磁感应强度从 N 指向 S，而在磁铁内部则从 S 指向 N，合在一起就是闭合的。
磁场的旋度
安培环路定理
电场有高斯定理，与之对应的，磁场有 安培环路定理：
$$ 积分形式：\oint_C \bd{B} \cdot \dif \bd{l} =\mu_0 \sum I\\ \rightarrow\int_S (\nabla \times \bd{B}) \cdot \dif \bd{S} = \mu_0 \int_S \bd{J} \cdot \dif \bd{S} \\ 微分形式：\nabla\times \bd{B} = \mu_0 \bd{J} $$简单证明
证明如下：任意取一环路，在环路上对磁场强度进行积分：
$$ \oint_C \bd{B}\cdot\dif \bd{l} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_C \oint_{C'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2} \cdot \dif \bd{l} $$根据矢量运算法则，有：
$$ \begin{align} &=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_C \oint_{C'} \frac{\bd{a}_R}{R^2} \cdot (\dif \bd{l}\times \dif \bd{l}')\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint_C \dif \Omega \end{align} $$我们知道，立体角定义为 $\frac{\dif S \cdot \bd{a}_R}{R^2}$，我们考虑 $C$ 上一点 $P$ 对 $C'$ 的立体角 $\Omega$，当 $P$ 移动 $\dif \bd{l}$ 时，$\Omega$ 变化 $\dif \Omega$。假如不移动 $P$，改为移动 $l'$ 线圈 $\dif \bd{l}$，根据相对性原理，也相当于 $\Omega$ 变化 $\dif \Omega$。也就是说：$\dif \bd{l}\times\dif \bd{l}'=\dif^2 S$，从而$\frac{\bd{a}_R}{R^2} \cdot (\dif \bd{l}\times \dif \bd{l}')=\dif \Omega$。
下面讨论 $\oint_C \dif \Omega$，当 $P$ 在 $C$ 上转动一圈时，有两种情况：
- $C$ 与 $C'$ 不相链（两个圈没有相互包围），那么我们有 $\oint_C \dif \Omega=\Omega\Big\vert_P^P=0$
- $C$ 与 $C'$ 相链，假设 $P$ 点就在 $C'$ 所围成的面上，此时 $\Omega_1=-2\pi$，转一圈后，$P$ 在相反位置，$\Omega_2=2\pi$则 $\oint_C \dif \Omega=\Omega_2-\Omega_1=4\pi$（正负受 $C$ 面的法向量控制，而面的法向量又与边界正方向成右手关系）
所以我们有：
$$ \oint_C \bd{B}\cdot\dif \bd{l} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot 4\pi=\mu_0 I\\ 微分：\nabla\times\bd{B}=\mu_0 \bd{J} $$其中，$I$ 是所选环路包围的电流。
适用范围
要用安培环路定理简化计算，必须满足：闭合路径上磁场只有切向分量，并且切向分量大小相等，这样才能将 $\bd{B}$ 提到积分外。所以一般适用于具有对称结构的电流。