磁感应强度

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*} $$

恒定电流产生的磁场就是恒定磁场，磁铁的磁场是由分子环流所产生的，所以也属于恒定磁场。

磁感应强度

安培力定律

安培经实验证明，通电回路之间有相互作用力。真空中，两个电流元之间的作用力为：

$$ \dif \bd{F}_{21}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I_2\dif \bd{l}_2 \ \times I_1\dif \bd{I}_1}{R_{21}^3}\times \bd{R}_{21} $$

式中，$\mu_0=4\pi\times 10^{-7} \rm{H/m}$ 为真空中的磁导率。

所以两个电流回路间的作用力为：

$$ \bd{F}_{21}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{c_2}{\oint_{c_1}} \frac{I_2\dif \bd{l}_2 \times I_1 \dif \bd{l}_1 \times \bd{a}_R}{R^2} $$

比奥-萨伐尔定律

将安培力改写为

$$ \bd{F}_{21}=\oint_{c_2} I_2\dif \bd{l}_2 \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi}{\oint_{c_1}} \frac{ I_1 \dif \bd{l}_1 \times \bd{a}_R}{R^2} \right) $$

括号中就是回路 $c_1$ 在空间中产生的磁场，我们称之为 磁感应强度，磁感应强度满足右手定则，即：

$$ \bd{B}(\bd{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}{\oint_{c’}} \frac{ I \dif \bd{l}' \times \bd{a}_R}{R^2} $$

上式即 比奥-萨伐尔定律（Biot-Savert），这是实验定律。磁感应强度的单位是 $1\rm{T}=10^4 \rm{Gs}$ 或 $\rm{Wb/m^2}$

我们也可以用电流密度来表示：

$$ 体电流 \bd{B}(\bd{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}{\int_{V'}} \frac{ \bd{J}(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif V'\\ 面电流 \bd{B}(\bd{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}{\oint_{S'}} \frac{ \bd{J}_S(\bd{r}') \times \bd{a}_R}{R^2}\dif S'\\ 线电流直接用电流表示即可 $$

可以看出磁感应强度比电场强度更复杂（因为有更多的矢量运算），所以后面我们引入的位函数也会更复杂。

Tip

例题：一段长为 $2l$ 的直导线通流 $I$，求空间各点的磁感应强度。

Note

解：以导线中点为原点，导线为 $z$ 轴，建立柱坐标系：

$$ \bd{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{c'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2}\\ $$

根据几何关系，我们可以写出：

$$ \begin{cases} \dif \bd{l}'=\dif \bd{z}'\\ z'=z-\frac{r}{\tan\theta}\\ \dif z'= r\csc^2 \theta\dif \theta\\ \dif \bd{z}'=\bd{a}_z r\csc^2 \theta\dif \theta\\ \bd{a}_R=\bd{a}_r \sin\theta+\bd{a}_z\cos\theta\\ \dif z'\times \bd{a}_R=\bd{a}_\varphi r \csc^2\theta\sin\theta \dif \theta\\ R=r\csc\theta \end{cases} $$

将上面最后两项代入比奥-萨伐尔定律：

$$ \begin{align} \bd{B}&=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{c'} \frac{I\dif \bd{l}'\times \bd{a}_R}{R^2}\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{r\csc^2\theta\sin\theta\dif \theta}{r^2\csc^2 \theta}\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi r} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta\dif\theta\\ &=\frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\cos\theta_1 - \cos \theta_2) \end{align} $$

由上可以推出无限长直导线的磁场强度为 $\bd{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \bd{a}_\varphi$

洛伦兹力

由安培力表达式推出：

$$ \begin{align*} \dif \bd{F} &= I\dif \bd{I}\times\bd{B}=\bd{J}\dif V\times\bd{B}=\rho \bd{v} \dif V \times \bd{B}\\ &=\dif q \bd{v}\times \bd{B} \end{align*} $$

所以，磁场对运动电荷的作用力为：

$$ 洛伦兹力\;\bd{F}=q\bd{v}\times\bd{B} $$

磁场的散度与旋度磁偶极子与磁介质