静电场的能量

\begin{array}{r}  \end{array}

静电场的能量

静电场的能量来源于建立系统的电荷分布过程中，将电荷从无穷远的电位零点移到系统，形成电荷分布时外界所做的功。

电荷系统的能量

设最终电荷分布为 $ρ$ ，电位为 $ϕ$ 。当电荷密度增加到 $α ρ$ 时（ $0 < α < 1$ ，可以看作时间，也可以看作是比例系数），电位为 $α ϕ$ 。对于某体积元上的电荷增量 $d α ρ d V$ 所做的功为 $d W = α ϕ d α ρ d$ ，从而对于整个空间：

d W_{e} = \int_{V} d W = \int_{V} α ϕ d (α ρ) d V W_{e} = \int_{0}^{1} α d α \int_{V} ϕ ρ d V = \frac{1}{2} \int_{V} ρ ϕ d V

如果是面电荷或线电荷，则只需在面或线上积分。若对于多个导体，由导体的电荷分布可知，其电荷集中在表面，并且内部电位相等，所以：

W_{e} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} ϕ_{i} \int_{S_{i}} ϕ_{i} d S_{i} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} ϕ_{i} q_{i}

\begin{aligned} W_{e} & = \frac{1}{2} \int_{V} (\nabla \cdot \vec{D}) ϕ d V \\ = \frac{1}{2} \int_{V} [\nabla \cdot (ϕ \vec{D}) - \vec{D} \cdot \nabla ϕ] d V \\ (高斯散度定理) & = \frac{1}{2} \oint_{S} ϕ \vec{D} \cdot d \vec{S} + \frac{1}{2} \int_{V} \vec{D} \cdot \vec{E} d V \\ (V \to \infty) & = \frac{1}{2} \int_{V} \vec{E} \cdot \vec{D} d V \end{aligned}

注：上面最后一条等式是令 $V \to \infty$ ，则无穷远处的表面电场为 0，所以那一项为 0.

对于各向同性介质： $W_{e} = \frac{1}{2} \int_{V} \vec{E} \cdot ε \vec{E} d V = \frac{1}{2} \int_{V} ε {\vec{E}}^{2} d V$

能量体密度：

w_{e} = \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E} W_{e} = \int_{V} w_{e} d V

在多个带电导体构成的系统中，很难通过 $\vec{f} = q \vec{E}$ 来计算电场力，因为 $\vec{E}$ 不好算。所以我们用虚位移法来计算。

假设某导体移动了 $d g$ ，并且外部提供的能量等于场能变化和电场对导体做功，即：

d W = d W_{e} + f_{g} d g

想象每个带电体 $k$ 都有一个电源用于补充电荷 $d q_{k}$ ，则：

d W = \sum_{k = 1}^{N} ϕ_{k} d q_{k}

我们假设两种极端情况：

假设各个导体上的电荷 $q_{k}$ 不变（外界能量补给电荷），则 $0 = d W_{e} + f_{g} d g$ ，从而 $f_{g} = {- \frac{\partial W_{e}}{\partial g} |}_{q_{k} = c o n s t}$
假设导体上电位 $ϕ_{k}$ 不变（外界能量补给电位），则
$d W_{e} = d (\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{N} ϕ_{k} q_{k}) = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{N} ϕ_{k} d q_{k} = \frac{1}{2} d W$
从而 $f_{g} d g$ 和 $d W_{e}$ 都占外界做功的一半，所以 $f_{g} d g = d W_{e}$ ，从而 $f_{g} = {\frac{\partial W_{e}}{\partial g} |}_{ϕ_{k} = c o n s t}$