静电场的能量
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\\ \newcommand{\p}{\partial}\\ \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \end{align*} $$静电场的能量
静电场的能量来源于建立系统的电荷分布过程中，将电荷从无穷远的电位零点移到系统，形成电荷分布时外界所做的功。
电荷系统的能量
设最终电荷分布为 $\rho$，电位为 $\phi$。当电荷密度增加到 $\alpha \rho$ 时（$0<\alpha<1$，可以看作时间，也可以看作是比例系数），电位为 $\alpha \phi$。对于某体积元上的电荷增量 $\dif \alpha \rho\dif V$ 所做的功为 $\dif W=\alpha\phi\dif \alpha \rho\dif$，从而对于整个空间：
$$ \dif W_e = \int_V \dif W = \int_V \alpha\phi\dif(\alpha\rho)\dif V\\ W_e=\int_0^1 \alpha \dif \alpha \int_V \phi\rho \dif V=\frac{1}{2}\int_V \rho \phi \dif V $$如果是面电荷或线电荷，则只需在面或线上积分。若对于多个导体，由导体的电荷分布可知，其电荷集中在表面，并且内部电位相等，所以：
$$ W_e = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N \phi_i \int_{S_i} \phi_i \dif S_i = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N \phi_i q_i $$场量的能量
$$ \begin{align} W_e &= \frac{1}{2} \int_V (\nabla\cdot\vec{D}) \phi \dif V\\ &= \frac{1}{2} \int_V \left[ \nabla\cdot(\phi\vec{D})-\vec{D}\cdot \nabla\phi \right] \dif V\\ (\text{高斯散度定理})&=\frac{1}{2}\oint_S \phi\vec{D} \cdot \dif \vec{S}+ \frac{1}{2}\int_V \vec{D}\cdot\vec{E} \dif V\\ (V\rightarrow\infty)&=\frac{1}{2} \int_V \vec{E}\cdot\vec{D} \dif V \end{align} $$注：上面最后一条等式是令 $V\rightarrow\infty$，则无穷远处的表面电场为 0，所以那一项为 0.
对于各向同性介质：$W_e = \frac{1}{2} \int_V \vec{E}\cdot\varepsilon \vec{E} \dif V = \frac{1}{2} \int_V \varepsilon \vec{E}^2 \dif V$
能量体密度：
$$ w_e=\frac{1}{2} \vec{D}\cdot\vec{E}\\ W_e=\int_V w_e \dif V $$静电力
在多个带电导体构成的系统中，很难通过 $\vec{f}=q\vec{E}$ 来计算电场力，因为 $\vec{E}$ 不好算。所以我们用虚位移法来计算。
假设某导体移动了 $\dif g$，并且外部提供的能量等于场能变化和电场对导体做功，即：
$$ \dif W = \dif W_e + f_g \dif g\\ $$想象每个带电体 $k$ 都有一个电源用于补充电荷 $\dif q_k$，则：
$$ \dif W = \sum_{k=1}^N \phi_k \dif q_k $$我们假设两种极端情况：
假设各个导体上的电荷 $q_k$ 不变（外界能量补给电荷），则 $0=\dif W_e + f_g \dif g$，从而 $f_g = \left.-\dfrac{\p W_e}{\p g}\right\vert_{q_k=\rm{const}}$
假设导体上电位 $\phi_k$ 不变（外界能量补给电位），则
$$ \dif W_e=\dif\left( \frac{1}{2}\sum_{k=1}^N \phi_k q_k \right)=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N \phi_k \dif q_k = \frac{1}{2} \dif W $$从而 $f_g \dif g$ 和 $\dif W_e$ 都占外界做功的一半，所以 $f_g \dif g = \dif W_e$，从而 $f_g = \left.\dfrac{\p W_e}{\p g}\right\vert_{\phi_k=\rm{const}}$