矢量场的散度
$$ \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial} $$矢量场
- 矢量场
- 在空间的每一点上的场量 $\vec{F}$ 既有大小，也有方向。在物理中，用一种假象的场线来描述矢量场，称为矢量线。矢量线的切线方向即场量方向，矢量线的疏密即场量的大小。每一点有且只有一条矢量线经过。
根据以上定义，有：
$$ \vec{F} \times \dif l = \begin{vmatrix} \vec{a}_x & \vec{a}_y & \vec{a}_z \\ F_x & F_y & F_z \\ \dif x & \dif y & \dif z \end{vmatrix} = 0 $$$$ \frac{\dif x}{F_x} = \frac{\dif y}{F_y} = \frac{\dif y}{F_y} $$上式为矢量线在直角坐标系中的微分方程。
矢量的通量（标量）
在矢量场 $\vec{A}$ 中，假设 $\dif \vec{S} = \vec{n} \dif S$ 为一有向曲面的面元矢量，则面元处的矢量 $\vec{A}$ 与面源矢量 $\dif \vec{S}$ 的点积称为 $\vec{A}$ 向 $\vec{n}$ 方向穿过 $\dif S$ 的通量，记作：
$$ \dif \Phi = \vec{A} \cdot \dif \vec{S} = A \cos \theta \dif S $$一个曲面有两面，我们规定，在闭合曲线（开表面）中， $\vec{n}$ 与 曲线正方向 构成右手螺旋关系；在闭合面中，$\vec{n}$ 指向外面。
我们将所有 $\dif \Phi$ 相加，则 $\vec{A}$ 向正侧穿过曲面 S 的 通量 为：
$$ \Phi = \int_S \vec{A} \cdot \dif \vec{S} = \int_S \vec{A} \cdot \vec{n} \dif S = \int_S A\cos \theta \dif S $$我们根据 $\Phi$ 的正负，将 $\Phi$ 分为：
- $\Phi>0$，正源，$S$ 内有发出通量线的源
- $\Phi<0$，负源，$S$ 内有吸收通量的汇
- $\Phi=0$，无源，$S$ 内无源无汇或源汇相消
源和汇统称通量源。
散度
设矢量场 $\vec{A}$，在场中任一点 $M$ 作一个包含点 $M$ 在内的任一闭合曲面 $S$，$S$ 所限定的体积为 $\Delta V$，当体积以任意方式缩向点 $M$ 时，取极限：
$$ \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\oint_S \vec{A} \cdot \dif \vec{S}}{\Delta V} $$若极限值存在，则此极限称为矢量场在该点的 散度 （divergence） ，记作 $\mathrm{div} \vec{A}$
计算{:.success}
详细的推导过程可以参考数学分析下第六章的内容。我们直接给出以下结论：
直角坐标系{:.success}
柱坐标系{:.success}
球坐标系{:.success}
柱和球的具体推导就不放上来了，个人感觉放了反而会更懵，还不如死记。当然啦，我自己记忆那么差，是不可能死记的，下面放出我的方法：
$$ \begin{align} \nabla\cdot \vec{F}&=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left(\frac{\p }{\p u_{1}} (h_{2}h_{3}F_{1})+\frac{\p }{\p u_{2}} (h_{3}h_{1}F_{2})+\frac{\p }{\p u_{3}} (h_{1}h_{2}F_{3})\right)\\ &=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \sum_{j=1}^{3} \frac{\p }{\p u_{i}} \left(F_{j}\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{j}}\right) \end{align} $$其中，$F_1,F_2,F_3$ 就是矢量场的各个分量，$h_1,h_2,h_3$ 是 Lame系数，通俗来讲就是长度元表达式的系数：
- 对柱坐标系：$h_1=1, h_2=r, h_3=1$
- 对球坐标系：$h_1=1, h_2=r, h_3=r\sin\theta$
我们可以代入算一下，以柱坐标为例：
$$ \nabla\cdot\vec{F}=\frac{1}{r} \cdot\Big( \frac{\p rF_r}{\p r}+\frac{\p F_\varphi}{\p \varphi}+\frac{\p rF_z}{\p z}\Big) $$注意到最后一项中 $r$ 可以提出去，所以最终可以得到上面的结论。
以球坐标为例：
$$ \begin{align} \nabla\cdot\vec{F}&=\frac{1}{r^2\sin\theta} \cdot\Big( \frac{\p r^2\sin\theta F_r}{\p r}+\frac{\p r\sin\theta F_\theta}{\p \varphi}+\frac{\p rF_\varphi}{\p z}\Big)\\ &=\frac{1}{r^2\sin\theta} \cdot\Big( \sin\theta \frac{\p r^2F_r}{\p r}+r\sin\theta \frac{\p F_\theta}{\p \varphi}+r\frac{\p F_\varphi}{\p z}\Big) \end{align} $$消去前面分母的相应部分，就可以得到原来的式子。这个方法是不是很棒呢！这要感谢知乎大神 宇翔的方法，他给出了这种方法的推导过程，有兴趣的同学可以去看看。
散度的运算法则：
- $\nabla\cdot c\vec{A}=c\nabla\vec{A}$（c是常数）
- $\nabla\cdot(\vec{A}\pm\vec{B})=\nabla\vec{A}\pm\nabla\vec{B}$
- $\nabla u\vec{A}=u\nabla\cdot\vec{A}+A\nabla u$
高斯散度定理
假设 $S$ 是矢量场 $\vec{A}$ 空间内的一个闭合面，$V$ 为闭合面所包围的体积，则有：
$$ \int_V \nabla\cdot \vec{A} \dif V = \oint_S \vec{A}\cdot\dif \vec{S} $$证明方法见大一的数学分析。
拉普拉斯算子（补充）
这一部分书上并没有讲，但是在后面会经常用到，所以补充一下。
我们将“梯度的散度”定义为 拉普拉斯算子，记为 $\Delta$ 或 $\nabla^2$，即：
$$ \Delta = \nabla^2 = \nabla\cdot\nabla f $$直角坐标系{:.success}
柱坐标系{:.success}
球坐标系{:.success}
利用 Lame 系数，可以写成：
$$ \nabla^2 = \frac{1}{h_1h_2h_3} \sum_{i=1}^3 \frac{\p}{\p u_i} \left( \frac{h_1h_2h_3}{h_i} \frac{\p}{h_i \p u_i} \right) $$有时候 $\nabla^2$ 也会用于矢量，表示对分量分别求梯度的散度：
$$ \nabla^2 \vec{E} = (\nabla^2 E_1) \hat{a}_1+(\nabla^2 E_2) \hat{a}_2+(\nabla^2 E_3) \hat{a}_3 $$拉普拉斯算子具有与梯度与散度类似的性质：
- 分配律：$\nabla^2(u+v)=\nabla^2 u + \nabla^2 v$
- $\nabla^2(uv)=u\nabla^2 v+2\nabla u \cdot \nabla v +v\nabla^2 u$
- $\nabla \times (\nabla\times \vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}$