标量场的梯度

标量场的等值面

标量场

标量场在空间中的分布规律可以用一个标量函数来表示，标量函数必须是连续可微函数

等值面

等值面就是使标量场取相同值得点所构成得空间曲面

对于任意给定的常数 C，方程 u=u(x, y, z)=C 就是等值面方程。每个 C 都对应唯一的曲面与其对应

场中的等值面互不相交（否则不满足连续可微）

方向导数

方向导数

设 $M_0$ 为标量场 $u=u(M)$ 中的一点，从点 $M_0$ 出发引出一条射线 $l$，在 $l$ 上临近点 $M_0$ 处取一动点 $M$，记$\Delta l = MM_0$，则极限：

$$\lim_{\Delta l \rightarrow 0} \frac{u(M) - u(M_0)}{\Delta l} = \frac{\partial u}{\partial l} \Big\vert_{M_0}$$

称为标量场 $u(M)$ 在点 $M_0$ 处沿 $l$ 方向上的方向导数

计算公式{:.success}

设标量场在点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 处可微，$M(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)$，则：

$$ u(M) - u(M_0) = \Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+ \frac{\partial u}{\partial z}\Delta z $$

而：

$$ \Delta x = \Delta l \cos \alpha,\; \Delta y = \Delta l \cos \beta,\; \Delta z = \Delta l \cos \gamma $$

从而

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \alpha+ \frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma $$

进一步我们设坐标单位矢量为 $( \hat{a}_x, \hat{a}_y, \hat{a}_z )$，$\vec{l}$ 方向的单位矢量为 $\hat{a}_l$，把 $\cos$ 化成：

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \Big( \frac{\partial u}{\partial x} \hat{a}_x + \frac{\partial u}{\partial y} \hat{a}_y+ \frac{\partial u}{\partial z} \hat{a}_z \Big) \cdot \hat{a}_l $$

梯度矢量

$$ \text{令}\; \vec{G} = \frac{\partial u}{\partial x} \hat{a}_x + \frac{\partial u}{\partial y} \hat{a}_y+ \frac{\partial u}{\partial z} \hat{a}_z\\ \text{则}\; \frac{\partial u}{\partial l} = \vec{G} \cdot \hat{a}_l = \vert \vec{G} \vert \cos<\vec{G}, \hat{a}_l> $$

当 $\vec{l}$ 与 $\vec{G}$ 方向一致时，标量场在点 $M$ 处方向导数最大（此时 $\frac{\partial u}{\partial l} = \vert \vec{G} \vert$），矢量函数 $\vec{G}$ 定义为 梯度，记为 $\vec{G} = \text{grad} u$ 或 $\nabla u$，我们称 $\nabla$ 为那勃勒算子（nabla）或哈密顿算子

在电场中，梯度具有如下性质：

• 与等电位面垂直
• 数值上等于最大方向导数
• 指向点位增加的方向

下面列出各坐标系中，梯度的表达式：

$$ \text{grad}u = \frac{\partial u}{\partial x} \hat{a}_x + \frac{\partial u}{\partial y} \hat{a}_y+ \frac{\partial u}{\partial z} \hat{a}_z $$

柱坐标系{:.success}$\text{grad} u = \frac{\partial u}{\partial r} \vec{a}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} \vec{a}\_\varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \vec{a}_z$

以下是推导过程：

$$ \begin{align*} \dif \vec{l} &= \hat{a}_r \dif l_r + \hat{a}_\varphi r \dif \varphi + \hat{a}_z \dif z\\\\ \dif u &= \frac{\partial u}{\partial r} \dif r + \frac{\partial u}{\partial \varphi} \dif \varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \dif z\\ &= \frac{\partial u}{\partial r} \dif r + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} r\dif \varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \dif z\\ &= \Big( \frac{\partial u}{\partial r} \vec{a}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} \vec{a}_\varphi + \frac{\partial u}{\partial z} \vec{a}_z \Big) \cdot \dif \vec{l}\\ &= \text{grad} u \cdot \dif \vec{l} \end{align*} $$

球坐标系{:.success} $\text{grad} u = \frac{\partial u}{\partial R} \vec{a}_R + \frac{1}{R}\frac{\partial u}{\partial \theta} \vec{a}\_\theta + \frac{1}{R \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \varphi} \vec{a}\_\varphi$

推导过程类似于柱坐标系

🚩注意

请一定要记住各个坐标系的 $\nabla$算子：

1. 直角：$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}$
2. 柱：$\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi}+\frac{\partial u}{\partial z}$
3. 球：$\frac{\partial u}{\partial R}+\frac{1}{R}\frac{\partial u}{\partial \theta}+\frac{1}{R \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \varphi}$

而实际上上面都是由 $\dif \vec{l}$ 推导出来的。所以别看第一章第一节很简单，其实是很难的。

梯度的性质：

• $\nabla C = 0$
• $\nabla (u\pm v) = \nabla u \pm \nabla v$
• $\nabla(uv)=u\nabla v+v \nabla u$
• $\nabla\left( \dfrac{u}{v} \right)=\frac{1}{v^2}(v\nabla u-u \nabla v)$
• $\nabla f(u) = f'(u)\nabla u$

可以看出，梯度的性质和求导是一模一样的。

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从数学上我们知道，方向导数可以用梯度表示为：

$$ \frac{\partial u}{\partial l} = \hat{a}_l \cdot\text{grad} u $$

（更严谨的推导请参考数学分析）