坐标系和代数
$$ \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\p}{\partial\,} $$- 场：
- 若在空间中，每一点上都对应着某个物理量的确定值，则在这个空间域中确定了该物理量的场
- 如果物理量为矢量，则为矢量场；若为标量，则为标量场
- 如果物理量不随时间变换，则为静态场，反之为动态场
坐标系
基本知识
- 坐标系：
- 空间中的每个点，均可用唯一一组标量表示出来，该系统就叫坐标系
- 对于 N 维空间，需要 N 个独立坐标变量
- 坐标面：
- 当一个坐标变量等于某个常数时，形成的曲面或平面
- 坐标曲线：
- 每两组坐标面的交线
- 正交坐标系：
- 过空间任意点，三条坐标曲线都互相正交的坐标系
- 坐标单位矢量：
- 过空间任意点M的三条坐标曲线的切向单位矢量
- 其模为1，以各坐标变量增加方向作为正方向
- 一个正交坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则
下图中展示了一个以 $u_1, u_2, u_3$ 为轴的坐标系，其对应得坐标面$c_1, c_2, c_3$，坐标曲线$u_1, u_2, u_3$，坐标单位矢量 $\hat{a}\_{u1}, \hat{a}\_{u2}, \hat{a}_{u3}$
三种坐标系
- 直角坐标系 Cartesian Coordinates
- 坐标变量：$x, y , z \; (\infty < x,y,z < \infty)$
- 任意矢量 $\vec{A}$ 表示为：$\vec{A} = A_x \hat{a}_x + A_y \hat{a}_y + A_z \hat{a}_z$
- 长度元：$\dif \vec{l} = \hat{a}_x \dif x + \hat{a}_y \dif y + \hat{a}_z \dif z$
- 面积元：
- $$\begin{align} \dif \vec{S} &= \dif S_x + \dif S_y + \dif S_z \\ &= \hat{a}_x \dif y \dif z + \hat{a}_y \dif z \dif x + \hat{a}_z \dif x \dif y \end{align} $$
- 体积元：$\dif V = \dif x\dif y\dif z$
- 圆柱坐标系 Cylindrical Coordinates
- 坐标变量：$(r, \varphi, z) \; (0 \leq r < +\infty, 0 \leq \varphi \leq 2\pi, -\infty < z < +\infty)$
- 任意矢量 $\vec{A}$ 表示为：$\vec{A} = A_r \hat{a}_r + A_φ \hat{a}_φ + A_z \hat{a}_z$
- 长度元：
- $$ \begin{align} \dif \vec{l} &= \dif \vec{l}_r + \dif \vec{l}_\varphi + \dif \vec{l}_z\\ &= \hat{a}_r \dif r + \hat{a}_\varphi r \dif \varphi + \hat{a}_z \dif z \end{align} $$
- 面积元：
- $$ \begin{align} \dif \vec{S} &= \hat{a}_r \dif S_r + \hat{a}_\varphi \dif S_\varphi + \hat{a}_z \dif S_z\\ &= \hat{a}_r r \dif \varphi \dif z + \hat{a}_\varphi \dif r \dif z + \hat{a}_z r \dif r \dif \varphi \end{align} $$
- 体积元：$\dif V = \dif l_r \dif l_\varphi \dif z = r \dif r \dif \varphi \dif z$
- 球坐标系 Spherical Coordinates
- $(r, \theta, \varphi) \; (0 \leq r < +\infty, 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \varphi \leq 2\pi)$
- 任意矢量 $\vec{A}$ 表示为：$\vec{A} = A_r \hat{a}_r + A_θ \hat{a}_θ + A_φ \hat{a}_φ$
- 长度元：
- $$ \begin{align} \dif \vec{l} &= \dif \vec{l}_r + \dif \vec{l}_\theta + \dif \vec{l}_\varphi\\ &= \hat{a}_r \dif r + \hat{a}_\theta r \dif \theta + \hat{a}_\varphi r \sin \theta \dif \varphi \end{align} $$
- 面积元：
- $$ \begin{align} \dif \vec{S} &= \hat{a}_r \dif S_r + \hat{a}_\theta \dif S_\theta + \hat{a}_\varphi \dif S_\varphi \\ &= \hat{a}_r r^2 \sin\theta \dif \theta \dif \varphi + \hat{a}_\theta r \sin\theta \dif r \dif \theta + \hat{a}_\varphi r \dif r \dif \theta \end{align} $$
- 体积元：$ \dif V = \dif l_r \dif l_\theta \dif l_\varphi = r^2 \sin \theta \dif r \dif \theta \dif \varphi$
🚩注意
- 以上三个坐标系的坐标单位矢量均是正交的
- 相比起直接记公式，记图反而更容易理解。而且很显然，后两者都是用各自坐标把 x,y,z 表示出来，比如：
坐标变量之间的关系
$$ \begin{cases} x = r \cos \varphi\\ y = r \sin \varphi\\ z = z \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \varphi = \arctan \frac{y}{x}\\ z = z \end{cases} $$$$ \begin{cases} x = R \sin \theta \cos \varphi\\ y = R \sin \theta \sin \varphi\\ z = R \cos \theta \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ \theta = \arccos \frac{z}{R}\\ \varphi = \arctan \frac{y}{x}\\ \end{cases} $$
坐标单位矢量之间的关系
$$ \begin{bmatrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix} $$$$ \begin{bmatrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\varphi \\ \hat{a}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{bmatrix} $$
直角与球{:.success} 并没有一个很直观的推导方法，最好是用柱来中转。
🚩注意
- 单位矢量转换与坐标变量转换的思路是完全不同的。
- 坐标变量转换：利用已知的坐标通过几何运算得到未知坐标
- 单位矢量转换：将未知矢量投影到已知矢量得到系数
- 记的时候只需要记图的两个轴：$x$ 和 $y$、$r$ 和 $z$
矢量
矢量在高中、线代中已经学过，这里就直接列一些重要的。
- 矢量
- 矢量是由大小和方向的量。表示为 $\vec{A} = \vec{a}_AA$，其中，$A = \vert\vec{A}\vert$，称为 $\vec{A}$ 的模或长度；$\vec{a}_A$ 是沿 $\vec{A}$ 方向的单位矢量。
- 位置矢量
- 从原点指向空间一点 $P$ 的矢量称为 $P$ 的位置矢量，常用球坐标中的 $\vec{r}$ 表示
- 矢量运算
- （1）矢量加减运用三角法则
- （2）矢量点积 $\vec{A}\cdot\vec{B}$，满足交换律和分配律
- （3）矢量叉积 $\vec{A}\times\vec{B}$，满足分配律但不满足交换律（需要加负号），可用行列式计算。
- （4）标量三重积 $\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{C}\cdot(\vec{A}\times\vec{B})$$=\vec{B}\cdot(\vec{C}\times\vec{A})$
- （5）矢量三重积 $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})$$=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})$，助记：英文谐音 BACK-CAB。相关证明
补充：后面我们会经常用到一个恒等式：$\nabla\times(\nabla\times \vec{F})=\nabla(\nabla\cdot \vec{F})-\nabla^2\vec{F}$，这个公式就是由矢量三重积得到的，至于 $\nabla$ 是啥，下一节会介绍，现在把它当一个矢量即可。
- 矢量导数
- $$\frac{\dif \vec{v}}{\dif t} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\vec{v}(t+\Delta t) -\vec{v}(t)}{\Delta t}$$
- 矢量偏导
- $$\frac{\p \vec{v}}{\p x_i} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\vec{v}(x_1 \cdots x_i+\Delta x_i \cdots x_n) -\vec{v}(x_1 \cdots x_i \cdots x_n)}{\Delta x_i}$$
- 矢量的求导法则
- （1）$\frac{\dif}{\dif t}[k\vec{v}] = \vec{v}\frac{\dif f}{\dif t} + f \frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
- （2）$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\cdot\vec{v}] = \vec{v}\cdot\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\cdot\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
- （3）$\frac{\dif}{\dif t}[\vec{u}\times\vec{v}] = \vec{v}\times\frac{\dif \vec{u}}{\dif t} + \vec{u}\times\frac{\dif \vec{v}}{\dif t}$
注意{:.success} 区分：
- 常矢量：大小方向都不变的矢量
- 单位矢量：大小为1，方向可变的矢量
- 位置矢量：以坐标原点为起点的矢量
其他
对球坐标的讨论
球坐标的坐标单位矢量为 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$（同 $\hat{a}\_r, \hat{a}\_\theta, \hat{a}_\varphi$），其方向是对应坐标增加的方向。与直角坐标系不同，球坐标的坐标单位矢量并不是常矢量。
我们考虑在直角坐标中的点 $(1,0,0)$ 和 $(0,1,0)$，对应球坐标的 $(1, \pi/2, 0)$ 和 $(1, \pi/2, \pi/2)$，对应的坐标单位矢量为：
- $\hat{r} = \hat{x}$，$\hat{\theta} = -\hat{z}$，$\hat{\varphi} = \hat{y}$
- $\hat{r} = \hat{y}$，$\hat{\theta} = -\hat{z}$，$\hat{\varphi} = -\hat{x}$
我们可以把 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$ 看作是关于 $r, \theta, \varphi$ 的函数，那么函数的形式是什么呢？
我们由球-柱、柱-直之间的坐标单位矢量的关系，可以推导出球-直的坐标单位矢量的关系：
$$ \begin{bmatrix} a_r \\ a_\theta \\ a_\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 & \cos\theta\\ \cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix} $$最终化简为：
$$ \begin{bmatrix} a_r \\ a_\theta \\ a_\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\\ \cos\theta\cos\varphi & \cos\theta\sin\varphi & -\sin\theta\\ -\sin\varphi & \cos\varphi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix} $$我们发现，中间的矩阵中并没有 $r$，说明 $r$ 不改变 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$. 我们进一步求出它们的偏导：
$$ \frac{\p \hat{r}}{\p r}=\frac{\p \hat{\theta}}{\p r}=\frac{\p \hat{\varphi}}{\p r}=0 $$$$ \begin{align} \frac{\p \hat{r}}{\p \theta}&=(\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, -\sin\theta)=\hat{\theta}\\ \frac{\p \hat{\theta}}{\p \theta}&=(-\sin\theta\cos\varphi, -\sin\theta\sin\varphi, -\cos\theta)=-\hat{r}\\ \frac{\p \hat{\varphi}}{\p \theta}&=0 \end{align} $$$$ \begin{align} \frac{\p \hat{r}}{\p \varphi}&=(-\sin\theta\sin\varphi, \sin\theta\cos\varphi, 0)=\hat{\varphi}\sin\theta\\ \frac{\p \hat{\theta}}{\p \varphi}&=(-\cos\theta\sin\varphi, \cos\theta\cos\varphi, 0)=\hat{\varphi}\cos\theta\\ \frac{\p \hat{\varphi}}{\p \varphi}&=(-\cos\varphi, -\sin\varphi, 0)=-\hat{r}\sin\theta+\hat{\theta}\cos\theta \end{align} $$请记住 $\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}$ 的偏导，因为我们后面几章还要用。
同理，我们也可以推出柱坐标系的偏导：
$$ \frac{\p \hat{a}_r}{\p r} = \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p r} = 0\\ \frac{\p \hat{a}_r}{\p z} = \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p z} = 0\\ \frac{\p \hat{a}_r}{\p \varphi} = \hat{a}_\varphi, \; \frac{\p \hat{a}_\varphi}{\p \varphi} = -\hat{a}_r $$小吐槽：说好的矢量一般用小写字母呢？咋华南理工的书这么喜欢用 $\vec{A}$ 😂 大家凑合看吧