数字滤波器的结构与实现

$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \newcommand{\xleftrightarrow}[1]{\stackrel{#1}{\longleftrightarrow}} \end{align*} $$

结构单元

框图

框图啥的就不再介绍了，简单来说，咱们只能用三种结构：加（⊕）、数乘（▷p）和单位延迟（$z^{-1}$）

无延迟回路

无延迟回路 指的是没有任何延时的反馈回路。一种简单的判断方法是：从输出反馈出发，经过一个环回到反馈，环路上没有延迟的话，就是无延迟回路。

无延迟回路在物理中是不可实现的，但我们能改变它的结构，使其变为有延迟回路。因为无延迟回路总能写成：

$$ y[n]=Ay[n]+x[n] $$

显然，可以改写成 $y[n]=x[n]/(1-A)$

典范结构

典范结构（规范结构）：滤波器的延时单元数目与差分方程的阶数（$\max(M,N)$）相同的框图。反之，若延迟单元大于阶数，则称为非典范结构

等效结构

若两个框图对应的传输函数相同，则称为它们是 等效的。要得到等效结构，一种方法叫 转置运算，步骤如下：

1. 将所有箭头反转
2. 把节点换成加法器，加法器换成节点
3. 交换输入和输出

由于计算机的精度有限，所以等效结构存在性能区别：

1. 所需的存储单元和乘法次数不同，前者影响复杂度，后者影响运算速度
2. 有限精度下，不同结构的误差和稳定性不同

系统的基本实现

串联实现

一个数字滤波器可以实现，它的传输函数的分子、分母多项式必须是实系数的。而实系数多项式的根只有实数和共轭复数两种情况，因为：

$$ \text{if}\quad \sum_{k=0}^{m} b_k z^{-k}=0\\ \text{then}\quad \sum_{k=0}^{m} b_k (z^*)^{-k}=0 $$

我们可以将高阶系统因式分解为多个一阶系统和二阶系统的串联，其中，一阶系统提供 $N-2r$ 个实根，二阶系统用于提供 $r$ 对实根和共轭根，即

$$ H(z)= \rho_0 \left(\prod_{i=1}^{r} \frac{1+\beta_{1i} z^{-1}+\beta_{2i}z^{-2}}{1+\alpha_{1i}z^{-1}+\alpha_{2i}z^{-2}}\right) \left(\prod_{i=1}^{N-2r} \frac{1+\gamma_i z^{-1}}{1+p_i z^{-1}} \right) $$

如果高阶多项式的最高阶数为偶数，则因式分解后的实系数多项式最小阶数可能为 1，也可能为 2；若高阶多项式的最高阶数为奇数，则因式分解后的实系数多项式最小阶数为 1。

串联实现的好处是：可以降低滤波器系数的量化误差。

并联实现

好像要根据留数展开来分解，有点复杂，简而言之就是分解后，分母阶数要大于分子：

$$ H(z)=\frac{b_0}{a_0}+\sum_{i=1}^r \frac{\beta_{1i}+\beta_{2i}z^{-1}}{1+\alpha_{1i}z^{-1}+\alpha_{2i}z^{-2}}+\sum_{i=1}^{N-2r} \frac{\gamma_i}{1+p_iz^{-1}} $$

如果有多重根，第 k 个重根 $H_{ik}(z)=\dfrac{\gamma_{ik}}{(1+p_i z^{-1})^k}$ 可以通过级联来实现：

但这样的话，m 重实根就需要 $(1+2+\cdots+m)$ 个一阶节来实现，这并不经济。实际上我们可以用下面结构来表示：

$$ H_i(z)=\sum_{k=1}^m \frac{\gamma_{ik}}{(1+p_i z^{-1})^k} $$

FIR

考虑一个 FIR 系统：

$$ y[n]=\sum_{k=0}^{M} p_k x[n-k] $$

我们可以先延迟，再乘系数，得到如下 直接型实现：

或者先乘系数，再延迟，得到另一种直接型实现（也可以看作是上一种实现的转置）：

IIR

考虑一个 IIR 系统：

$$ \sum_{k=0}^N d_k y[n-k]=\sum_{k=0}^M p_k x[n-k] $$

它可以重新写成这种结构：

$$ y[n]=\sum_{k=0}^M p_k x[n-k] - \sum_{k=1}^N d_k y[n-k] $$

显然右边可以看作是两个 FIR 相加，所以我们可以得到 直接Ⅰ型 实现：

由于串联结构的顺序可以调换，所以我们可以得到上图4.2.4的结构。

注意到上面两派的延迟的输入是一样的，所以我们可以合并，得到直接Ⅱ型 实现：

经过转置后可以得到下面的结构：

两类实现的比较：

	直接Ⅰ型	直接Ⅱ型
加法器	$N+M$	$N+M$
乘法器	$N+M+1$	$N+M+1$
延时器	$N+M$	$\max\{M,N\}$

习题

（a）求整个系统的传输函数
（b）求差分方程
（c）每节用直接Ⅱ型，求系统实现
（d）求并联Ⅰ型实现
（e）求冲激响应

[!NOTE] 解：

$$ H(z)=H_1(z)H_2(z)H_3(z)=\frac{0.4+1.76z^{-1}-1.2z^{-2}}{1+0.8 z^{-1}+0.2125 z^{-2}+0.0187z^{-3}} $$

$$ y[n]+0.8 y[n-1]+0.2125 y[n-2]+0.0187y[n-3]= 0.4x[n] +1.76 x[n-1]-1.2x[n-2] $$

直接Ⅱ型实现如下：

将系统函数分解为和式：$H(z)=\frac{-676.8}{1+0.3z^{-1}}\frac{548}{1+0.25 z^{-1}}+\frac{129.2}{(1+0.25z^{-1})^2}$，从而可以得到并联Ⅰ型实现如下：

可以求得冲激响应为：

$$ h[n]=-676.8(-0.3)^n u[n]+548(-0.25)^n u[n]+129.2 129.2(n+1)(-0.25)^{(n+1)}u[n] $$