离散时间系统

简单的离散时间系统

这里给出一些常用的离散时间系统的时域表达式与频域表达式

累加器

滑动平均滤波器

指数加权移动平均滤波器

中值滤波器

离散时间系统的性质与分类

线性系统

  线性系统 的定义如下：若 $y_1[n]$ 和 $y_2[n]$ 分别是 $x_1[n]$ 和 $x_2[n]$ 的响应，则当输入为：

  时，其响应为：

  若是线性系统，则令 $x[n]=x_{-k}[n]+\cdots+x_{0}[n]+\cdots+x_{k}[n]$，显然：

时不变系统

  对于 时不变（移不变）离散时间系统，若 $x_1[n]$ 的响应是 $y_1[n]$，则 $x[n]=x_1[n-n_0]$ 的响应是 $y[n]=y_1[n-n_0]$

  一种傻瓜判断方法就是将 $y_1[n]$ 中的 所有的 $n$ 替换成 $n-n_0$ 得到 $y_1[n-n_0]$，然后再将 $y_1[n]$ 中的 所有的 $x_1[n]$ 里面直接加上个 $-n_0$ 得到 $y[n]$，比较 $y_1[n-n_0]$ 和 $y[n]$，若相同就是时不变系统。

所以中值滤波器是时不变系统。¶

因果系统

  因果系统 是指：$y[n_0]$ 仅取决于 $x[n],n\leq n_0$，而与 $n\lt n_0$ 的样本无关。

稳定系统

  稳定系统 指的是若 $\vert x[n] \vert < B_x$，则 $\vert y[n] \vert < B_y$

  稳定性的证明与级数的有界性证明很类似，你可以尝试证明一下前面滤波器是稳定系统。

无源与无损

  无源系统 指的是对于每一个输入序列，有：

  当等号成立时，称为 无损系统

冲激响应与阶跃响应

  冲激响应 $h[n]$ 即输入为 $\delta[n]$ 的系统响应。阶跃响应 $s[n]$ 即输入为 $u[n]$ 的系统响应。在信号课程中多用冲激响应，而在其他课程中则多用阶跃响应。

利用冲激判断LTI系统特性

稳定性

  若 $x[n]$ 有界，即 $\vert x[n]\vert \lt B_x<\infty$，如果系统是稳定系统，则 $h[n]$ 也有界，因为：

因果性

  如果系统是因果系统，则 $n<0$ 时，$h[n]=0$，因为：

  注意到 $x[n-k],\;(k<0)$ 对应的是未来的值，这部分不应该对输出有作用，所以 $\sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k]=0$，即 $h[n]<0,\;(n<0)$

LTI系统的差分方程

  LTI 系统的输入输出常用差分方程解出：

  方程中，$y[n]$ 的阶数为 $N$，$x[n]$ 的阶数为 $M$，$\max\{M,N\}$ 称为差分方程的阶数。线性系统的差分方程只有一次幂，且不存在相乘项。

  在求解差分方程前，让我们先对其作个变换，介绍几个概念。

  如果输出仅仅只用到激励，而与反馈无关，则称为 Fenite Impulse Response（非递归数字系统），简称：FIR系统。

  如果输出同时用到了激励与反馈，那么称为 Infinite Impulse Response（递归数字系统），简称：IIR系统。

  如果只用到了反馈，没有输入，则称为 自反馈系统，在此我们不讨论这个。

求解差分方程

  通过解差分方程求响应不是什么容易的事，主要的方法有：

• 离散时域求解法
  • 迭代法
• 变换域求解法
  • Z变换法

迭代法

  给出初始条件与输入，我们可以不断地迭代出响应。比如下面这个例子：

[!TIP] 例题：已知系统差分方程为$y[n]-ay[n-1]=x[n]$ 试求其冲激响应（初始状态为 $y[-1]=0$）

[!NOTE] 解：$x[n]=\delta[n]$ 且 $y[-1]=0$，从而我们可以先求出 $h[0]$：

  然后可以不断迭代迭代：

$$ h[1]=ah[1]+0=a\\ h[2]=ah[1]+0=a^2\\ \vdots\\ h[n]=ah[n-1]+0=a^n $$

  从而可以解出：

  一个系统能通过递推求出，则必须有初始松弛条件（若 $x[n]=0,\,n

  对于 FIR系统，我们可以通过递归求出任意输出，比如：

解析法

  我们先讨论一下解的结构。模仿数学分析中的分析过程，我们可以定义映射 $L[y]=\sum_{k=0}^N d_k y[n-k]$，容易证明，$L[y]$ 满足：

• $L[\alpha y]=\alpha L[y]$
• $L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]$

  可见，$L[y]$ 是线性映射。我们考虑齐次方程：$L[y]=0$，若 $y_1,y_2,\cdots,y_N$ 是相互独立的解，则 $y=C_1 y_1+C_2 y_2+\cdot+C_N y_N$ 同样是一个解，如果 $C_1,C_2,\cdots,C_N$ 相互独立，那么 $y$ 称为 通解，$y_1,y_2,\cdots,y_N$ 称为 基础解系。

  对于 $L[y]=f(x)$，若 $y[x]$ 是 $L[y]=0$ 的解，$\tilde{y}[x]$ 是 $L[y]=f(x)$ 的解，则 $\alpha y[x]+\tilde{y}[x]$ 也是 $L[y]=f(x)$ 的解。我们称 $\tilde{y}[x]$ 是一个 特解。

  综上，求解差分方程实际上就是求解特解与通解，然后利用初始条件得到唯一解。下面我们先求通解，然后求特解，最后通过一道例题来讲讲如何使用初始条件。

求通解

  先考虑一阶齐次差分方程：

  根据前面的线性性可知，$y[0]$ 可以取任意值。因此，我们推测通解的形式可能为 $y_c[n]=\lambda^n$，于是再代入二阶方程：

  解得：$\lambda_0=0$，$\lambda_{1,2}=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$。根据 $\Delta=p^2-4q$ 的值，可分为三种情况：

① $\Delta>0$，解为：$y_1=\lambda_1^n$，$y_2=\lambda_2^n$

不解释

② $\Delta=0$，解为：$y_1=\lambda_1^n$，$y_2=n \lambda_1^n$

我们可以先求出一个解：$y_1=\lambda_1^n=(\frac{-p}{2})^n$，然后令 $y_2=f(n) \lambda_1^n$，代入方程中：

$$ \displaylines{ f(n) \left(\frac{-p}{2}\right)^n + p f(n-1) \left(\frac{-p}{2}\right)^{n-1} + q f(n-2) \left(\frac{-p}{2}\right)^{n-2} =0\\ f(n) \left(\frac{-p}{2}\right)^2 + p f(n-1) \left(\frac{-p}{2}\right) + \left(\frac{-p}{2}\right)^2 f(n-2) =0\\ f(n) -2 f(n-1) + f(n-2) =0\\ f(n) -f(n-1) = f(n-1) - f(n-2)\\ \therefore f(n)=kn，根据线性性，取 k=1 } $$

③ $\Delta<0$，解为复根 $y_1=\lambda_1^n$，$y_2=\lambda_2^n$

同①

  可见，如果包含重根，则需要乘一个 $n$。

  我们将 $y_c[n]=\lambda^n$ 代入回一般的齐次差分方程，有：

  除了 $\lambda=0$ 外，解括号中的 $N$ 阶多项式可以得到 $N$ 个解：$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N$。从这 $N$ 个根，如果这 $N$ 个根彼此不同，则通解为：

  如果有多重根，不妨设 $\lambda_1$ 是 $m$ 重根，则：

求特解

  我们作如下假设：特解 $y_p[n]$ 与输入 $x[n]$ 具有相同形式。比如：

例题

[!TIP] 计算差分方程：

的全解 $y[n]$，$n>0$，其中，$x[n]=u[n]$，$y[-1]$ 为初始条件。

故齐次方程的通解为：$y_c[n]=C(-a)^n$.

当 $n>0$ 时，$x[n]$ 为常数，故设特解也是常数，即：

代入原方程，有：

$$ K u[n] + a_1 K u[n-1]=u[n]\\ \Rightarrow n\geq 1时,\; K=1/(1+a_1) $$

故差分方程的特解为：$y_p[n]=\dfrac{1}{1+a_1}u[n]$

因此全解为：

为求解 $C$，计算差分方程在 $n=0$ 处的值：

$$ y[0]+a_1 y[-1]=1\\ \Rightarrow y[0]=1-a_1 y[-1] $$

在计算全解在 $n=0$ 处的值：

从而

$$ C=-a_1 y[-1]+\frac{a_1}{1+a_1} $$

最终得到：

  注意到我们先将全解求出来后，才求出 $C$ 的值，我们也可以求出通解后直接求 $C$ 的值。

求齐次方程 $y[0]$ 的值：

由于在通解上已考虑了 $y[-1]$ 的值，在求特解时我们令 $y[-1]=0$，从而：

$$ \displaylines{ y[0]=x[0]=1\\ y[1]=x[1]-a_1y[0]=1-a_1\\ y[2]=x[2]-a_1y[1]=1-a_1+(a_1)^2\\ \vdots\\ y_{zs}=\sum_{k=0}^n (-a_1)^k = \frac{1-(-a_1)^{n+1}}{1+a_1} } $$

从而全解为：

  解法二中，将解分成了零输入响应 $y_{zi}[n]$ 与零状态响应 $y_{zs}[n]$。这种分解方法常用于语言等信号分析中，当分析某一帧时，把输出分成上一帧所产生的影响（零输入），与当前帧的影响（零状态）。

%solve difference equations ak y[n-k]=bk x[n-k]
y = filter(b,a,x);
% b = [b0, b1, ..., bM];
% a = [a0, a1, ..., aN];

%compute the impulse response
h = impz(b,a,n);

相位延迟与群延迟

若 LTI 系统输入一个正弦信号：$x[n]=A\cos(\omega_0 n+\phi)$，则输入必然也是一个同频率的正弦信号：

我们将 $\tau_p(\omega_0)=-\frac{\theta(\omega)}{\omega_0}$ 称为 相位延迟，$\tau_g(\omega)=-\frac{\dif \theta(\omega)}{\dif \omega}$ 称为 群延迟。

一种比较简单的物理意义是：对于窄带信号，相位延迟是载波信号的延迟，群延迟是包络的延迟。

我们将在讲 FIR 滤波器时进一步讨论这两种延迟。

习题

时不变性

因果性：$y[n]$ 只与 $n$ 时刻的 $x$ 值有关，故满足因果性。

[!TIP] 4.31 求 $h_1[n],h_2[n],h_3[n]$ 组合成的系统的总冲激响应，其中，

$$ \displaylines{ 其中，\\ h_1[n] \circledast h_2[n] = 2\delta[n-3]-\delta[n]-6\delta[n+3]\\ h_b[n] 是 \frac{1}{1-H_1(z) H_2(z) H_3(z)} 的逆变换 } $$

$$

y[n]+a_1 y[n-1]+a_2 y[n-2]=b_0 x[n]+b_1x[n-1]+b_2[n-2] $$

求频率响应表达式。常数 $b_i,\;i=1,2,3$ 为何值时，对所有 $\omega$ 值幅度响应是一个常数？

[!NOTE] 解：对方程进行离散傅里叶变换：

从而频率响应的表达式为：

$$ H(e^{j\omega}) = \frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} = \frac{b_0+b_1e^{-j\omega}+b_2e^{-j2\omega}}{1+a_1 e^{-j\omega}+a_2 e^{-j2\omega}} $$

幅度响应的表达式为：

当 $b_0=b_1:a_1=b_2:a_2$ 时，对所有 $\omega$ 值幅度响应是常数 $b_0$

观察幅度响应的表达式，可发现 $b_0$ 与 $b_2$ 是对称的，故当 $b_2=b_1:a_1=b_0:a_2$ 时，对所有 $\omega$ 值幅度响应是常数 $b_2$

另外，当 $b_i=0$ 时，幅度响应恒为 0