稳定性与频率补偿

\begin{matrix}  \end{matrix}

General Considerations

Figure 10.1 (a) Basic negative-feedback system, and (b) phase shift around the loop at ω1

考虑 Fig. 10.1 的传输函数，容易写出：

[X (s) - β Y (s)] H (s) = Y (s) \Rightarrow \frac{Y}{X} (s) = \frac{H (s)}{1 + β H (s)}

当分母为 0 时，传输函数趋向无穷，电路开始振荡，我们将这种情况称为 Barkhausen’s Criteria，此时的频率满足：

\begin{aligned} | β H (j ω_{1}) | & = 1 \\ ∠ β H (j ω_{1}) & = - 180^{\circ} \end{aligned}

当然，这只是临界条件，实际上，只要 $∠ β H (j ω_{1}) = - 180^{\circ}$ 时， $| β H (j ω_{1}) | \geq 1$ 就会发生震荡。比如在 Fig. 10.2a 中，在 $- 180^{\circ}$ 处，增益大于 0 dB，所以不稳定。而 Fig. 10.2b 中，增益为 0 dB 时（即 gain crossover），相位大于 $- 180^{\circ}$ ；或者在相位等于 $- 180^{\circ}$ 时（即 phase crossover），增益小于 0 dB，所以稳定。

Figure 10.2 Bode plots of loop transmission for (a) unstable and (b) stable systems

我们将 gain crossover 处的频率记为 GX，此时相位离 $- 180^{\circ}$ 的距离称为 phase margin（PM）。phase crossover 处的频率记为 PX，此时增益离 0 dB 的距离称为 gain margin（GM）。易知，要使系统稳定，至少要求 GX<PX，PM>0，GM>0

最后复习一下怎么画 Bode plots，我们主要用两点规则：

The slope of the magnitude plot changes by+20 dB/dec at every zero frequency and by−20 dB/dec at every pole frequency
For a pole (zero) frequency ofωm, the phase begins to fall (rise) at approximately $0.1 ω_{m}$ , experiences a change of $- 45^{◦} (+ 45^{◦})$ at $ω_{m}$ , and approaches a change of $- 90^{◦} (+ 90^{◦})$ at approximately $10 ω_{m}$

利用这两点规则我们可以大致算出 PM。

Tip

Consider the stability of a feedback system incorporating a one-pole forward amplifier. Assuming $H (s) = A_{0} / (1 + s / ω_{0})$

Note

H (s) = \frac{A_{0}}{1 + \frac{s}{ω_{0}}} \Rightarrow \frac{Y}{X} (s) = \frac{\frac{A_{0}}{1 + β A_{0}}}{1 + \frac{s}{ω_{0} (1 + β A_{0})}}

we plot $| β H |$ and $∠ β H$ in Fig. 10.5, observing that a single pole cannot contribute a phase shift greater than $90^{\circ}$ and the system is unconditionally stable for all nonnegative values of $β$

Figure 10.5 Bode plots of loop transmission for a one-pole system

Phase Margin

系统要稳定，PM 要大于 0，但要大多少呢？前面说过，当 GX 与 PX 重合时（ $P M = 0$ ），输出会出现振荡，频率响应出现无穷大的点；

而当 PX 稍大于 GX 时（ $P M > 0$ ），输出会出现衰减的振荡，频率响应出现过冲（Fig. 10.10a）；

当 PX 远大于 GX 时（ $P M \geq 0$ ），基本上没有振荡，也没有过冲（Fig. 10.10b）。

Figure 10.10 Closed-loop frequency and time response for (a) small and (b) large margin between gain and phase crossover points

图中的过冲对应的就是振荡的幅度，我们可以利用如下方法近似计算过冲： $β H = | β H | \exp (∠ β H)$ ，在 GX 处， $| β H | = 1$ ，而 $∠ β H = - 180^{\circ} + PM$ ，因此我们可以算出该点的 $β H$ ，把 $β H$ 代入 $\frac{Y}{X}$ 的表达式中，就能得到过冲。

Figure 10.11

那么多大的 PM 合适呢？我们先考虑最简单的情况：两个极点，并且 $ω_{p 2} = unity-gain bandwidth$ (Fig. 10.11)，那么 $PM = 45^{\circ}$ ，利用上述方法，有：

\begin{aligned} | \frac{Y}{X} (ω_{2}) | & = \frac{H}{1 + β H} \\ = \frac{1}{β} \frac{β H}{1 + β H} \\ = \frac{1}{β} \frac{\exp (- j 135^{\circ})}{1 + \exp (- j 135^{\circ})} \\ = \frac{1.306}{β} \end{aligned}

改变 PM，我们可以得到不同的过冲。当 $PM = 60^{\circ}$ 时， $Y / X = 1 / β$ ，是最理想的情况（实际上此时依然会有少量过冲，一般取 $70^{\circ}$ ）。当 $PM = 90^{\circ}$ 时， $Y / X = 0.707 / β$ ，此时完全无过冲，但阶跃响应的速度反而没有 $60^{\circ}$ 时快（Fig. 10.13）。

Figure 10.13 Closed-loop time response for 45,60, and 90 phase margins

[!NOTE] 补充一下，在单极点系统中，unity-gain bandwidth 和 GBW（带宽增益积）是同一个东西，都是指 GX 对应的频率。并且这个值越大，响应速度越快。

GBW的直观含义

最后我们介绍一下已知 $A_{0}, ω_{1}, ω_{2}$ ，如何计算 PM。

计算 GBW：
- 先计算 $ω_{2}$ 处的增益： $A (ω_{2}) = 20 \lg (A_{0}) - 20 (\lg ω_{2} - \lg ω_{1})$
- 再求解 GBW 的方程： $40 \lg (GBW / ω_{2}) = A (ω_{2})$
- 或者像我一样，直接一条公式搞定： $GBW = \sqrt{A_{0} ω_{1} ω_{2}}$
代入如下公式：
$\begin{aligned} PM & = 180^{\circ} - \arctan (GBW / ω_{1}) - \arctan (GBW / ω_{2}) \\ = 90^{\circ} - \arctan (GBW / ω_{2}) i f GBW ≫ ω_{1} \end{aligned}$

我们一般希望 $ω_{2} = 3 GBW$ ，就是想要 $PM \approx 70^{\circ}$

[!NOTE] 对上述公式的简单推导：我们知道传递函数 $∠ H = ∠ Y - ∠ X$ （Y 是分子，X 是分母），并且已知有如下三角公式：

\arctan A + \arctan B = \arctan \frac{A + B}{1 - A B} ∠ A = \arctan \frac{img (A)}{real (A)}

于是我们只需要证明在 $ω = GBW$ 处，开环增益形如：
$\frac{k}{(1 - A B) + j (A + B)} A = \frac{GBW}{ω_{1}}, B = \frac{GBW}{ω_{2}}$

假设二阶系统的开环增益为 $A_{O} = \frac{A_{v 0}}{(1 + j ω / ω_{1}) (1 + j ω / ω_{2})}$ ，那么：

\begin{aligned} β A_{O} & = \frac{β A_{O}}{(1 + j ω / ω_{1}) (1 + j ω / ω_{2})} \\ = \frac{β A_{O}}{(1 - \frac{ω^{2}}{ω_{1} ω_{2}}) + j (\frac{ω}{ω_{1}} + \frac{ω}{ω_{2}})} \end{aligned}

把 $ω = GBW$ 代入后，符合前面说的形式，得证。
当然，感性上不需这么复杂，看图 Fig. 10.5 可以发现相位在 $ω_{1}$ 处很像 $\arctan$ 函数，然后为了满足 $\arctan ω_{1} = - 45^{\circ}$ ，我们就用 $\arctan (ω / ω_{1})$ 来拟合计算。（ $ω_{2}$ 也是类似的）

Basic Freq Compensation

Compensation of Two-Stage Op Amps

Figure 10.28 Pole splitting as a result of Miller compensation

要增大 Phase Margin，我们希望 主极点靠近原点，非主极点远离原点，这样的目的是使增益在 $- 180^{\circ}$ 之前尽可能下降得多。这称为 极点分离 。有两种方法实现这一点。

Miller Compensation

我们考虑下图中的两级 OPA， $C_{c}$ 为 Miller Capacitor， $R_{n 1}$ 是第一级的输出阻抗。我们可以画出等效的小信号模型，注意到这个模型和频率响应一节中的 CS Stage 是一样的，故直接写出频率响应

Gerneric 2-stage opamp-Miller OTA

Generic two-stage opamp

A_{v} = A_{v 0} \frac{1 - \frac{C_{c}}{g_{m 2}} s}{1 + (R_{n 1} C_{n 1} + A_{v 2} R_{n 1} C_{c} + R_{L} C_{L}) s + R_{n 1} R_{L} C C s^{2}} where A_{v 0} = - A_{v 1} A_{v 2} = - g_{m 1} g_{m 2} R_{n 1} R_{L} C C = C_{n 1} C_{c} + C_{n 1} C_{L} + C_{c} C_{L}

下面我们来分析 $C_{c}$ 对极点的影响。首先为了求解零点，我们将上式化简为：

A = A_{0} \frac{1 - c s}{1 + a s + b s^{2}}

这么一来就能写出零、极点（假设两个极点离得比较远）：

s_{z} = \frac{1}{c} 主 极 点 s_{p 1} = - \frac{1}{a} 非 主 极 点 s_{p 1} = - \frac{a}{b}

注意到当 $a$ 增大时，主极点会减小，非主极点会变大，那么我们可以通过增大 $C_{c}$ 来增大 $a$

当 $C_{c}$ 较小时， $a$ 可看作与 $C_{c}$ 无关
当 $C_{c}$ 较大时， $a = A_{v 2} R_{n 1} C_{c}$
- 此时的主极点为 $f_{d} = \frac{1}{2 π A_{v 2} R_{n 1} C_{c}}$ ，显然 $C_{c}$ 越大， $f_{d}$ 越小
- 非主极点为 $f_{n d} = \frac{A_{v 2} R_{n 1} C_{c}}{2 π R_{n 1} R_{L} C C}$
  - 如果 $C_{c}$ 不够大，那么 $C C \approx C_{n 1} C_{L}$ ，显然 $C_{c}$ 越大， $f_{n d}$ 越大
  - 如果 $C_{c}$ 很大，那么 $C C \approx C_{c} (C_{n 1} + C_{L})$ ，此时 $f_{n d}$ 与 $C_{c}$ 无关。

综合以上分析，我们可以得到下面这幅图：

Miller OTA - pole splitting with Cc

注意到图中还有一条绿色的线，那是零点，其表达式为 $f_{z} = \frac{g_{m}}{2 π C_{c}}$ ，如果 $C_{c}$ 很大，那么零点就会靠近原点，并且由于这是个正零点，所以会使得相位 $- 90^{\circ}$ （见下图），这是我们不希望的。所以 $C_{c}$ 不能太大。当然，我们后面也会讲处理零点的方法。

Effect of positive zero

Choice of Cc

$C_{c}$ 不能太小，也不能太大。前面说了， $f_{n d}$ 一般是 $3 GBW$ （对应 70° 的相位裕度），所以我们可以利用这个求出 $C_{c}$

先求 $GBW$ ，为了简化分析，我们先忽略 $C_{n 1}$ ，得到下图。图中，易知 $V_{out} \cdot j ω C_{c} = - g_{m 1} V_{in}$ ，故 $A_{v} = - g_{m 1} \frac{1}{j ω C_{c}}$ ，当 $ω = \frac{g_{m 1}}{C_{c}}$ 时， $| A_{v} | = 1$ ，所以 $GBW = \frac{g_{m 1}}{2 π C_{c}}$

Gerneric 2-stage opamp

下面再求 $f_{n d}$

\begin{aligned} f_{n d} & = \frac{A_{v 2} R_{n 1} C_{c}}{2 π R_{n 1} R_{L} C C} \\ = \frac{g_{m 2} C_{c}}{2 π (C_{n 1} C_{c} + C_{n 1} C_{L} + C_{c} C_{L})} \\ \approx \frac{g_{m 2}}{2 π C_{L}} \frac{1}{1 + \frac{C_{n 1}}{C_{c}}} \end{aligned}

代入 $f_{n d} = 3 GBW$ ，得到：

\frac{g_{m 2}}{g_{m 1}} = 3 \frac{C_{L}}{C_{c}} (1 + \frac{C_{n 1}}{C_{c}})

由于我们一般取 $\frac{C_{n 1}}{C_{c}} = 0.3$ （我也不知道为什么……），最终我们得到：

\frac{g_{m 2}}{g_{m 1}} = 4 \frac{C_{L}}{C_{c}} \Rightarrow g_{m 2} C_{c} = 4 g_{m 1} C_{L}

在设计时，一般给定了 $GBW$ 和 $C_{L}$ ，我们可以按如下步骤求 $g_{m}$ 、 $C_{c}$ ：

根据 $f_{n d} = 3 GBW = \frac{g_{m 2}}{2 π C_{L} \cdot 1.3}$ ，求出 $g_{m 2}$
根据 $\frac{g_{m 2}}{g_{m 1}} = 4 \frac{C_{L}}{C_{c}}$ ，求出 $C_{c}$
根据 $GBW = \frac{g_{m 1}}{2 π C_{c}}$ ，求出 $g_{m 1}$

Increase gm2

注意到在极点的表达式中： $f_{d} = \frac{1}{2 π A_{v 2} R_{n 1} C_{c}}$ 与 $f_{n d} = \frac{A_{v 2} R_{n 1} C_{c}}{R_{n 1} R_{L} C C}$ 都有 $A_{v 2}$ ，那么我们可以通过增大 $A_{v 2}$ 来让极点分离。

Miller OTA - pole splitting wih gm2

这种方法与 Miller Compensation 的区别是，非主极点会一直随着 $A_{v 2}$ 一起增大，并且 $f_{z}$ 也会随 $A_{v 2}$ 增大而远离原点，这再好不过了！

但这种方法也有缺点：the current consumption increases drastically

稳定性与频率补偿作业