Common-Gate Stage
$$ \begin{align*} \newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\belowarrow}[1]{\mathop{#1}\limits_{\uparrow}} \newcommand{\bd}{\boldsymbol} \newcommand{\tx}{\text} \newcommand{\L}{\mathscr{L}} \newcommand{\p}{\partial\,} \end{align*} $$Common-Gate Stage
Fig 3.48(a) 可以转换成 Fig 3.48(b)。We first study the large-signal behavior.
- $V_b-V_\tx{in}< V_\tx{TH}$, $M_1$ is off, $V_\tx{out}=V_{DD}$
- $V_b-V_\tx{in}>V_\tx{TH}$, $M_1$ is in saturation, $I_D$ is
and $V_\tx{out}$ is
$$ V_\tx{out}=V_{DD} - I_D R_D $$we can obtain a small-signal gain of
$$ \begin{aligned} \frac{\p V_\tx{out}}{\p V_\tx{in}}&=-R_D \frac{\p I_D}{\p V_\tx{in}}\\ &=-R_D \mu_n C_\tx{ox} \frac{W}{L}(V_b-V_\tx{in}-V_\tx{TH}) \\ &\quad (-1-\frac{\p V_\tx{TH}}{\p V_\tx{in}})\\ \tx{with }&\frac{\p V_\tx{TH}}{\p V_\tx{in}}=\frac{\p V_\tx{TH}}{\p V_{SB}}=\eta\\ \frac{\p V_\tx{out}}{\p V_\tx{in}}&=g_m(1+\eta)R_D \end{aligned} $$$\eta$ 是那个体效应的参数，所以和 $\p V_{TH}$ 有关。注意到 $\eta$ 的存在增大了增益。
回到 large-signal behavior，我们还漏了一种情况没说，即
- $V_b-V_\tx{TH}>V_\tx{out}$, $M_1$ is in triode region
我们将三种情况总结为下图 Fig. 3.49
The small-signal equivalent circuit of CG stage is
下面计算小信号增益：
注意到 $[1+(g_m+g_{mb})r_O]$ 和之前 CS stage 的 degenerated factor 是一样的。利用这个我们可以很快地把这个公式记下来。
下面计算输入&输出阻抗：
$$ R_DI_X+r_O[I_X-(g_m+g_{mb})V_X]=V_X\\ \begin{aligned} \Rightarrow R_\tx{in}&=\frac{V_X}{I_X}=\frac{R_D+r_O}{1+(g_m+g_{mb})r_O}\\ &=\frac{R_D}{1+(g_m+g_{mb})r_O}+\frac{1}{1/r_O+g_m+g_{mb}}\\ &\approx \frac{R_D}{(g_m+g_{mb})r_O}+\frac{1}{g_m+g_{mb}} \end{aligned} $$注意：这里没有考虑 $R_S$
如果 $R_D=0$，就和之前 source follower（Fig. 3.39a）的输出是一样的（老实说，书上这样讲不是很好，应该说“如果忽略 $r_O$，那么从源端看进去的电阻就是 $\dfrac{1}{g_m}\Vert\dfrac{1}{g_{mb}}$”，这样的话就能将 diode-conneted 的情况也包含进去，见下表的总结）。
| 从源端看进去的电阻 | diode-conneted | source follower | CG stage |
|---|---|---|---|
 |  |  | |
| 无 $r_O$ | $\dfrac{1}{g_m}\Vert\dfrac{1}{g_{mb}}$ | $\dfrac{1}{g_m}\Vert\dfrac{1}{g_{mb}}$ | $\dfrac{1}{g_m}\Vert\dfrac{1}{g_{mb}}$ |
| 有 $r_O$ | $\dfrac{1}{g_m+g_{mb}+1/r_O}$ | $\dfrac{1}{g_m+g_{mb}+1/r_O}$ | $\dfrac{R_D/r_O+1}{g_m+g_{mb}+1/r_O}$ |
至于输出电阻，就和之前 source degeration 是一样的（见 Fig. 3.57）。我们可以直接写出：
$$ R_\tx{out}=\left\{ [1+(g_m+g_{mb})r_O]R_S+r_O \right\} \Vert R_D\\ 或=\left\{ [1+(g_m+g_{mb})R_S]r_O+R_S \right\} \Vert R_D $$
总结
个人感觉 Common-gate 是三种 Stage 中最难记的，因为我们很难用之前的直接去概括它。我个人是这样想的：
- $R_\tx{out}=\left\\{ [1+(g_m+g_{mb})r_O]R_S+r_O \right\\} \Vert R_D$ 和 Common-source 一样，这个简单
- $R_\tx{in}=\dfrac{R_D+r_O}{1+(g_m+g_{mb})r_O}$，前面的 Degenerated Factor 是乘以 $R_S$，这里恰好相反（注意，这里没有考虑 $R_S$，实际要加上 $R_S$）
- $A_v=\dfrac{(g_m+g_{mb})r_O+1}{r_O+(g_m+g_{mb})r_OR_S+R_S+R_D}R_D$，分母是所以电阻串联（且 $R_S$ 乘上 Degenerated Factor），而分母是 Degenerated Factor 乘上 $R_D$
关于增益，我们可以改写为：
$$ \begin{aligned} A_v &= \frac{R_D}{R_S+\dfrac{(R_D+r_O)}{1+(g_m+g_{mb})r_O}}\\ &=\frac{i \cdot R_{D}}{i\cdot R_{\tx{in}}}\\ &=\frac{V_\tx{out}}{V_\tx{in}} \end{aligned} $$分母是输入端往上看到的电阻，分母是输出端的 $R_D$。它们分别乘上电流后，就是输入和输出电压！这样就好理解了！