角速度、轴矢量、2-矢量
大家对矢量应该都不陌生吧？是的，我们已经接触到不少的矢量了，如位移、速度、角速度、电场强度等。
但，我其实可以把矢量再细分为两类：一般的矢量和轴矢量，比如，位移、速度就是一般的矢量；而角速度、磁感应强度等则是轴矢量。
那么什么是轴矢量呢？它和一般矢量又有什么区别？在这篇文章中我们将讨论轴矢量的本质，我们会发现其实角速度和磁感应强度等只有在三维空间中才能定义为矢量，要想推广到其他维度必须把它们定义为2-矢量。
2-矢量在几何上也大有用处，大家也可以去看一下wxy的这篇文章，从四维几何的角度引入2-矢量。 注：文中的黑体字母和有箭头的字母都表示向量。
重点内容
- 轴矢量的定义
- 角速度的推广与2-矢量
- 外代数：楔积以及霍奇对偶
- 四维空间中的双旋转
从角速度讲起
让我们从角速度开始吧。角速度我们应该都很熟悉，他就是一个长度等于角速度大小，方向根据旋转方向与右手螺旋定则确定的矢量。 那么它与普通的矢量有什么不一样？通过一个镜像变换我们就看以看出来了：
磁感应强度也是如此，只需用在上图中把盘子换成一个通有电流的环形导线：
这里我们可以提出两个问题：
- 为什么像角速度这样的矢量会是轴矢量，这里面的根源是什么？
- 在后面我们会发现只有在三维空间里面角速度等才可以定义成矢量，这暗示了角速度的本质不是矢量，那么是什么呢？
其实文章的开头已经回答了第二个问题：这个量就是2-矢量。那么这又是一个什么东西呢？它的性质又是什么呢？下面我们就来讨论一下2-矢量。
角速度的另一种表示
我们以角速度为例子来引出2-矢量。大家想过角速度在其他维度中的推广没有？我们先不看难想的四维空间，先来看一下二维空间中的角速度。
在二维空间中物体的转动方向就只有顺时针和逆时针两种，所以实际上用一个标量就可以描述了。更准确地，一个伪标量，因为和三维情形一样，照了镜子以后会反号。
$$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$$$$\vec{v}=\omega(-y,x)$$好了，二维我们已经知道可以定义成（伪）标量了，那么，四维呢？情况就复杂了，因为四维还涉及到了双旋转，标量和矢量都不行了，只能用二阶张量，即一种可以表示成矩阵的量。我们发现这样类比下去维度越高就会越复杂，那么，有没有一种简单的，对所有维度都一样的表达呢？
答案是有的，我们可以从线速度的表达式入手。我们不妨把线速度换一种写法：
$$ \vec{v}=\begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} $$$$\vec{\omega}=(1,1,1)$$，那么它的线速度按照上面的方式就可以表示为
$$ \vec{v}=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} $$同样是一个矩阵乘以向径的列向量，只是矩阵的阶数变了而已。我们已经发现这个矩阵的一个性质了：它是反对称的。 好了，为了更深入地探讨2-矢量，我们需要了解一下它的定义以及性质。
外代数
$${\bf a}$$$${\bf b}$$$$\land$$$${\bf\omega}={\bf a}\land{\bf b}$$其中楔积满足以下几个性质：
- 线性性，即常数可以提出来，以及分配律： $$(c{\bf a})\land{\bf b}={\bf a}\land(c{\bf b})=c({\bf a}\land{\bf b})$$ $$({\bf a}+{\bf b})\land{\bf c}={\bf a}\land{\bf c}+{\bf b}\land{\bf c}$$
- 反对称性： $${\bf a}\land{\bf b}=-{\bf b}\land{\bf a}$$
，那么它们的楔积就为
$$ \begin{align} {\bf a}_{1}\land{\bf a}_{2}&=ad{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}+bc{\bf e}_{y}\land{\bf e}_{x}\\ &=(ad-bc){\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y} \end{align} $$$${\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}$$就是2-矢量的单位基底，就类似于矢量的基底一样。在二维空间中有1个，三维空间中有3个。
$${\bf a}\land{\bf b}$$$${\bf a}\times{\bf b}$$$$\vec{\omega}=(0,0,\omega)$$$${\bf\omega}=\omega{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}$$。
2-矢量的内积
$$ \langle{\bf e}_{i},{\bf e}_{j}\rangle=\begin{cases}0 (i\neq j)\\1 (i=j)\end{cases}=\delta_{ij} $$$$ \langle{\bf e}_{i}\land{\bf e}_{j},{\bf e}_{k}\land{\bf e}_{l}\rangle=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{ij}\delta_{kl} $$$$\langle{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y},{\bf e}_{y}\land{\bf e}_{x}\rangle=-1$$$${\bf e}_{i}$$$${\bf e}_{j}\land{\bf e}_{k}$$的内积怎么定义？遗憾的是，内积只能定义在同阶形式之间，如果不同阶就只能定义张量内积。
其实2-矢量也是一种张量。那么什么是张量呢？这个不是一两句话就说的清楚的。在张量代数里面楔积可以写成
$$ {\bf a}\land{\bf b}={\bf a}{\bf b}-{\bf b}{\bf a} $$$${\bf a}{\bf b}$$$$ ({\bf a}\land{\bf b})\cdot{\bf c}=({\bf a}{\bf b}-{\bf b}{\bf a})\cdot{\bf c}=({\bf b}\cdot{\bf c}){\bf a}+({\bf a}\cdot{\bf c}){\bf b} $$$$({\bf e}_{i}\land{\bf e}_{j})\cdot{\bf e}_{i}=-{\bf e}_{j}$$$$({\bf e}_{i}\land{\bf e}_{j})\cdot{\bf e}_{j}={\bf e}_{i}$$与叉乘的关系
$$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$$改写成用角速度2-矢量来表示，而这个式子里面有一个叉乘。为了看出叉乘与楔积的关系我们不妨把它们的表达式写出来：
$$ \begin{align} \vec{\omega}\times\vec{r}&=(\omega_{y}r_{z}-\omega_{z}r_{y})\vec{e}_{x}\\ & +(\omega_{z}r_{x}-\omega_{x}r_{z})\vec{e}_{y}\\ & +(\omega_{x}r_{y}-\omega_{y}r_{x})\vec{e}_{z}\\ &=\Sigma_{ij}\omega_{i}r_{j}\epsilon_{ijk}\vec{e}_{k} \end{align} $$$$ \begin{align} \vec{\omega}\land\vec{r}&=(\omega_{y}r_{z}-\omega_{z}r_{y})\vec{e}_{y}\land\vec{e}_{z}\\ & +(\omega_{z}r_{x}-\omega_{x}r_{z})\vec{e}_{z}\land\vec{e}_{x}\\ & +(\omega_{x}r_{y}-\omega_{y}r_{x})\vec{e}_{x}\land\vec{e}_{y}\\ &=\Sigma_{ij}\omega_{i}r_{j}\vec{e}_{i}\land\vec{e}_{j} \end{align} $$$$\epsilon_{ijk}$$$$\epsilon_{xyz}=1$$$${\bf e}_{y}\land{\bf e}_{z}\to{\bf e}_{x}$$$$\star$$$$\star(\vec{e}_{x}\land\vec{e}_{y})=\vec{e}_{z}$$$$\star(\vec{e}_{y}\land\vec{e}_{z})=\vec{e}_{x}$$$$\star(\vec{e}_{z}\land\vec{e}_{x})=\vec{e}_{y}$$$$\star(\vec{e}_{i}\land\vec{e}_{j})=\epsilon_{ijk}\vec{e}_{k}$$，只要保证那三个角标是xyz的循环排列就可以。所以我们得到楔积与叉乘的关系了：
$$ \vec{a}\times\vec{b}=\star(\vec{a}\land\vec{b}) $$$$\star{\bf a}=a_{x}{\bf e}_{y}\land{\bf e}_{z}+a_{y}{\bf e}_{z}\land{\bf e}_{x}+a_{z}{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}={1 \over 2}\Sigma_{ijk}a_{i}\epsilon_{ijk}{\bf e}_{j}\land{\bf e}_{k}$$$$(\star{\bf a})\cdot{\bf b}=-\star({\bf a}\land{\bf b})$$角速度2-矢量的定义
$$ \vec{v}=(-\star\vec{\omega})\cdot\vec{r} $$$${\bf\omega}=-\star\vec{\omega}$$$$\vec{v}={\bf\omega}\cdot\vec{r}$$$$\vert\omega\vert=\langle\omega,\omega\rangle$$$${\bf\omega}=a{\bf e}_{y}\land{\bf e}_{z}+b{\bf e}_{z}\land{\bf e}_{x}+c{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}$$$$\vert\omega\vert=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$$$\epsilon_{ijk}$$，这就导致了角速度矢量为轴矢量。
$$C_{n}^{2}$$个，也就是说三维空间是唯一使得矢量基底数与2-矢量基底数一样的空间！这使得我们可以在矢量空间与2-矢量空间之间建立一种同构映射，即霍奇对偶。既然矢量和2-矢量都是同构的我们就随便用那个都可以，为了方便我们就选择了矢量。 三维空间真的是一个有很多巧合的空间，我感觉我们能生活在三维空间真的很幸运，不然我们在做物理题时角速度和磁感应强度还得写成矩阵。。。
矩阵表示
$$\vec{\omega}=(1,1,1)$$$${\bf \omega}=-(\star{\bf e}_{x}+\star{\bf e}_{y}+\star{\bf e}_{z})=-{\bf e}_{y}\land{\bf e}_{z}-{\bf e}_{z}\land{\bf e}_{x}-{\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}$$$${\bf a}\land{\bf b}={\bf a}{\bf b}^{T}-{\bf b}{\bf a}^{T}$$。所以那三个基底分别为
$$ {\bf e}_{y}\land{\bf e}_{z}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} $$$$ {\bf e}_{z}\land{\bf e}_{x}=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} $$$$ {\bf e}_{x}\land{\bf e}_{y}=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} $$我们发现由于每个基底的矩阵都是反对称的，所以它们的线性叠加也一定是反对称的，因此角速度2-矢量的矩阵一定是一个反对称矩阵。 将上面三个矩阵代进去，我们得到角速度的矩阵表示，和我们最上面的一样：
$$ {\bf\omega}=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{pmatrix} $$它和向径矢量的矩阵乘积就是线速度。
$${\bf\omega}=\Sigma_{ij}\omega_{ij}{\bf e}_{i}{\bf e}_{j}$$$$\vec{v}=\Sigma_{ijk}\omega_{ij}{\bf e}_{i}({\bf e}_{j}\cdot{\bf e}_{k}){\bf r}_{k}=\Sigma_{ijk}\omega_{ij}{\bf e}_{i}\delta_{ik}{\bf r}_{k}=\Sigma_{ij}\omega_{ij}{\bf e}_{i}{\bf r}_{i}$$$$v_{i}=\Sigma_{j}\omega_{ij}{\bf r}_{j}$$。很明显，这就是矩阵乘积的定义式。
//注：这种指标记法在物理中用的很多，但如果你反应不过来可以老老实实地把它的每一项写出来验证。
其他轴矢量
$${\bf a}\times{\bf b}=\star({\bf a}\land{\bf b})$$$$\vec{a}=\vec{b}\times\vec{c}$$$$\vec{a}=\vec{b}\land\vec{c}$$。
$$d\vec{B}={\mu_{0}\over 4\pi}{I\vec{dl}\times\vec{r} \over r^3}$$$$d{\bf B}={\mu_{0}\over 4\pi}{I\vec{dl}\land\vec{r} \over r^3}$$$$\vec{F}=q{\bf B}\cdot\vec{v}$$。
$${\bf curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}$$$${\bf curl}\vec{F}=\nabla\land\vec{F}$$。然而数学上并不是这样表示的，标准的定义还用到了另一个东西：外微分算符（“d”），这就涉及到更多的外代数了，这里我就不介绍了，大家可以到维基百科上去看一下。
四维角速度与双旋转
既然角速度2-矢量是适用于任何维度的，那么我们现在就用它来研究一下四维空间中的旋转规律。 我们仍然使用角速度的矩阵表示，在四维空间它就该是一个四阶方阵。由于它是4x4的，所以就有可能可以被分块成两个反对称矩阵：
$$ {\bf\omega}=\begin{pmatrix}{\bf A}&{\bf O}\\{\bf O}&{\bf B}\end{pmatrix} $$代入线速度的公式我们发现
$$ \begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}={\bf A}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}v_{z}\\v_{t}\end{pmatrix}={\bf B}\begin{pmatrix}z\\t\end{pmatrix} $$$$Oxy$$$$Oxy$$$$Ozt$$$$Ozt$$$$Oxy$$$$Ozt$$面中的旋转是完全独立的，就好像是两个不同的转动一样。而且，空间中除了旋转的轴点以外其他点都在旋转，此时根本就没有旋转轴之类的东西了！我们把这种旋转称为双旋转。类似地，六维空间中就有三旋转，八维空间中就有四旋转，2n维空间中就有n旋转。在我之前的文章中已经有双旋转的例子了，它就是洛伦兹变换，即时空的伪转动和空间的转动一起构成双旋转。
角速度2-矢量的矩阵表示还有这样一个好处：它和与这个角速度对应的旋转变换矩阵之间有一个映射关系，这个我在以后的文章中再继续讲。
对于文中外代数部分大家可以去看一下维基百科
原文转自 Hadroncfy’s Notebook {:.success}